Empujones en la Categoría de Esquemas

Question

¿Cuándo tiene sentido pegar esquemas juntos a lo largo de subesquemas?

En particular: ¿hay alguna manera de pegar dos esquemas juntos a lo largo de un punto cerrado (digamos que estamos trabajando sobre un campo)? ¿Se pueden pegar dos puntos cerrados del mismo esquema juntos? ¿Es más fácil pegar en la categoría de espacios algebraicos?

Answer 1

Dados los esquemas $X,Y$ y $Z$ tal que $Z$ es un subesquema cerrado tanto de $X$ como de $Y$, el pushout existe en la categoría de esquemas. Por lo tanto, en particular uno puede pegar esquemas a lo largo de un punto cerrado. Una referencia para esto (realizado a través de la categoría de espacios con anillos localmente anillados) se encuentra en este artículo de Schwede (Corolario 3.9).

En general, aunque el pushout en la categoría de espacios con anillos localmente anillados no necesariamente sea un esquema incluso si uno empuja hacia afuera a lo largo de un subesquema, ver por ejemplo el Ejemplo 3.3 en el artículo de Schwede.

Answer 2

Dado que parece que aún no se ha mencionado, Ferrand demuestra en el Teorema 7.1 de "Conducteur, descendance, et pincement" que se puede empujar inmersiones cerradas $Y' \to X'$ a lo largo de varios morfismos afines agradables $g: Y' \to Y.

Por ejemplo, si $g$ es finito, y cada conjunto finito de puntos de $X'$ y $Y$ están contenidos en un afín abierto (por ejemplo, son variedades proyectivas) entonces el pushout existe (Teorema 5.4 de loc. cit.).

Answer 3

¿Hay alguna manera de pegar dos esquemas juntos a lo largo de un punto cerrado (digamos que estamos trabajando sobre un campo)? ¿Es más fácil pegar en la categoría de espacios algebraicos?

Para esta particular unión por empuje, la intuición geométrica es bastante simple: dados dos variedades algebraicas, una de las cuales vive en $\mathbb A^m$, otra en $\mathbb A^n$, combínelas en dos hiperplanos complementarios en $\mathbb A^{m+n}$. Algebraicamente, esto se generaliza fácilmente a un esquema afín $\mathrm{Spec}(R_1\times R_2/\mathrm{relación})$ y luego se pegan todas las piezas juntas.

Como se dijo correctamente antes, las uniones por empuje generales de esquemas pueden no ser esquemas en sí mismos.

Answer 4

En el caso afín, permita que $X=\text{Spec }A$, $Y= \text{Spec }B$, y $Z= \text{Spec }R$. Si tiene morfismos $f:Z\rightarrow X$ provenientes de $\phi:A\rightarrow R$ y $g:Z\rightarrow Y$ provenientes de $\psi: B\rightarrow R$ (porque $\text{Aff}$ es anti-equivalente a $\text{CRing}$), entonces el coproducto pushout $X \coprod_{Z} Y$, pegando $X$ y $Y$ a lo largo de $Z$ está dado por $\text{Spec }D$, donde

$D=A\times_{R} B:=\{(a,b) \in A\times B \mid \phi (a)= \psi (b)\}$.

Answer 5

Consideremos un anillo local conmutativo R, digamos un dominio de valoración, con ideal maximal M. Consideremos el producto fibrado $R \times_M R$ (escribí M en lugar de R/M), proveniente del pullback en anillos conmutativos $R\rightarrow R/M$. Entonces los espectros primos correspondientes de este producto fibrado (en anillos) es en realidad una forma de pegar el mismo mismo esquema afín Spec R a lo largo del punto cerrado M. Así que este es el caso donde esto sucede.

Así que creo que puedes hacer tales cosas para Esquemas afines. Para esquemas afines, al menos puedes revertir la topología (a veces se les llama espectro inverso) y puedes formar un haz sobre esta topología similar al haz de estructura canónico, pero los puntos cerrados se convierten en puntos genéricos en esta topología. No puedo recordar correctamente, pero creo que los tallos de estos haces se convierten en dominios íntegros (así que es una forma de dualidad a los esquemas afines, local se convierte en integral y así sucesivamente)