Existencia de mapas matriciales diferenciables $M(3,\mathbb{R}) \rightarrow M(3,\mathbb{R})$

Question

Digamos que $M(3,\mathbb{R})$ es el conjunto de matrices cuadradas de dimensión $3*3$ . ¿Existe un barrio $N$ de $I_3$ en la que existe un mapa de raíz cuadrada diferenciable $f: N \rightarrow M(3,\mathbb{R})$ con $$f(I) = \begin{pmatrix} -1 &0 &0 \\ 0 &1 &0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$$ y $(f(A))^2=A$ por cada $A \in N$ ?

Otra pregunta es la siguiente: ¿Existe un barrio $L$ de $I_3$ en el que hay un $C'$ función de clase $g: L \rightarrow M(3,\mathbb{R})$ con $$g(I) = \begin{pmatrix} 0 &1 &0 \\ 0 &0 &1\\ 1&0&0 \end{pmatrix}$$ y $(g(B))^3=B$ por cada $B \in L$ ?

Antecedentes: Aprendí que las matrices pueden representar derivadas de funciones multivariables, y he comprendido, por ejemplo, ¿Existe una forma general para la derivada de una matriz a una potencia? Pero ahora sé cómo utilizar las condiciones dadas por la pregunta para responder si las preguntas son verdaderas o falsas.

edit: Hay una pregunta anterior posiblemente relacionada, que la transformación lineal $T: M(3,\mathbb{R}) \rightarrow M(3,\mathbb{R}), T(B) = AB+BA$ (para una diagonal $A \in M(3,\mathbb{R})$ ) es invertible si los elementos diagonales de $A$ cumplen una determinada condición.

Answer 1

Utilizamos el teorema de la función implícita, que es un método bien conocido.

i) para $f$ . Dejemos que $p:X\in M_3\mapsto X^2$ y $U=diag(-1,1,1)$ Entonces $p(U)=I_3$ la derivada de $p$ es

$Dp_X:H\in M_3\mapsto XH+HX$ y $Dp_U(H)=UH+HU$ es una suma de funciones que conmutan.

$p$ tiene un local $C^{1}$ inversa de una vecindad de $I_3$ a un barrio de $U$ IFF $Dp_U$ es invertible. Sea $spectrum(U)=(\lambda_i)_i$ .

Según

https://en.wikipedia.org/wiki/Kronecker_product#Abstract_properties

$spectrum(Dp_U)=\{\lambda_i+\lambda_j;i,j\}=\{-2,0,0,0,0,2,2,2,2\}$ y, por lo tanto $p$ no tiene $C^1$ inversa local.

ii) para $g$ (de la misma manera). Dejemos que $q:X\in M_3\mapsto X^3$ y $V=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}$ Entonces $q(V)=I_3$ la derivada de $q$ es

$Dq_X:H\in M_3\mapsto HX^2+XHX+X^2H$ y $Dq_V(H)=HV^2+VHV+V^2H$ es una suma de funciones que conmutan.

$spectrum(V)=spectrum(V^2)=(\mu_i)_i=\{1,u,u^2\}$ donde $u=e^{2i\pi/3}$ .

Entonces $spectrum(Dq_V)=\{\mu_i^2+\mu_i\mu_j+\mu_j^2;i,j\}$ .

Con $\mu_i=1,\mu_j=u$ obtenemos (al menos) un valor propio cero y, por tanto, $q$ no admite ningún local $C^1$ inversa.

EDITAR. Respuesta al OP y a Sally G.

Si no se conoce la teoría de los productos de Kronecker, no importa, basta con mostrar elementos de $\ker(Dp_U)$ y de $\ker(Dq_V)$ . Por ejemplo

$H=\begin{pmatrix}0&0&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}\in\ker(Dp_U)$ y $H=diag(1,0,-1)\in\ker(Dq_V)$ .

Answer 2

No estoy del todo seguro de los mapas diferenciables en general, pero para comprobar la existencia de un $C^1$ -se puede utilizar el teorema de la función inversa: se busca la inversa local de la función $C^1$ -mapa $h:M(3,\mathbb R)\to M(3,\mathbb R),~A\mapsto A^2$ alrededor de $A_0$ , donde $A_0$ es una de las matrices anteriores. Dicho mapa existe si $\mathrm Dh(A_0)$ es invertible. Así que deberías comprobarlo.