No puedo conciliar mi comprensión de la contracción de la longitud con la transformación de Lorentz

Question

Actualmente estoy haciendo un curso de licenciatura en Relatividad Especial. Pensé que entendía el material, pero el repaso para el examen me ha dejado más confundido que cuando empecé. En particular, nos dieron el siguiente problema:

Un astronauta persigue una nave espacial alienígena. Visto desde un observador estacionario en la Tierra, los alienígenas van a una velocidad constante de $0.4c$ y el hombre del espacio va a una velocidad constante de $0.6c$ . Inicialmente están en $1\space lightyear$ aparte. En el marco de referencia del hombre del espacio ¿cuánto tiempo se tarda en capturar a los alienígenas?

Prefacio

La respuesta correcta es 4 años.

Llegaron a esta respuesta calculando el tiempo que tardaría en el marco terrestre: $\frac{1 \space light year}{0.6c - 0.4c} = 5\space years.$ Entonces el profesor señaló que el tiempo de los astronautas transcurre más lentamente porque se está moviendo con respecto a la tierra a $0.6c$ por lo que la duración de la persecución en el marco del astronauta es $\frac{1}{\gamma}*5 * 0.8*5 = 4\space years$ . Esta solución tuvo sentido para mí DESPUÉS de leerla.

Pude resolverlo de otra manera. Parametricé la línea del mundo de los astronautas en el marco de la Tierra como $$\vec r_S = (0.6\lambda, \lambda)$$ En el marco de la tierra, la línea del mundo de los extraterrestres es $$\vec r_A = (0.4\lambda + 1, \lambda).$$ NOTA, ambos están escritos en términos de $(x, ct)$ . Si transformamos en el marco del hombre del espacio entonces, según la Transformada de Lorentz, la nueva forma de las líneas del mundo será $(x', ct') = ( [\gamma (x - \frac{u}{c}ct)],\space[\gamma (ct -\frac{u}{c}x]))$ . En este marco de imprimación, $$\vec r'_S = (0, 8\lambda)$$ $$\vec r'_A = (1.25 - 0.25\lambda, 0.95\lambda - 1.75)$$ Para encontrar la hora de la colisión, encontré donde $x'_S = x'_A$ . Omitiendo el álgebra, esto ocurre en las coordenadas $$\lambda = 5: (x', ct') = (0, 4)$$ -- tal y como se esperaba.

Mi pregunta

Al principio me equivoqué en este problema porque intenté encontrar la solución utilizando la contracción de la longitud en el marco del hombre del espacio. Razoné que si el hombre del espacio se está moviendo con respecto a la Tierra, entonces su medida de las distancias en la dirección x se contraerá y acortará por un factor de $1/\gamma$ . Cuando discutimos la paradoja de los gemelos en clase, hablamos de cómo el gemelo terrestre "ve" que el reloj del gemelo cohete va más despacio, lo que explica que el gemelo cohete piense que el viaje a la estrella es más corto. Luego hablamos de cómo el gemelo-cohete verá la longitud de su viaje contraída, porque "1 m" en su marco es más corto que una vara de medir en el marco de la Tierra, y la distancia se midió originalmente en el marco de la Tierra. Véase esta pregunta para otro ejemplo de esta lógica.

Este razonamiento fracasó. Si la distancia entre el hombre y los extraterrestres medida en la Tierra se contrae en el marco del hombre en $1/\gamma \mid \beta=0.6$ Entonces verá a los extraterrestres sólo como $0.8\space lightyears$ al principio. Además, miramos la pendiente de $r'_A$ en el fotograma preparado, vemos que para el hombre del espacio los alienígenas se mueven hacia él a $0.263c$ . Entonces, ¿no debería ver la persecución tomar sólo $\frac{0.8}{0.263} = 3.04\space years$ ?

Incluso ignorando esta solución incorrecta. Si la velocidad del alienígena es $0.263c$ hacia él, entonces no debería verlos viajar $4 * 0.263c = 1.052\space ly$ en su marco?

1.) ¿Por qué no puedo utilizar la contracción de la longitud y la velocidad relativa para resolver este problema?

2.) ¿Por qué calculo que el extraterrestre se mueve 1,052 años luz en el marco del hombre del espacio? ¿Más que en el marco de la Tierra?

Answer 1

Estoy trabajando con c=1 y vectores de la forma $(t,x)$

La contracción de la longitud es realmente una afirmación sobre las líneas paralelas.

Tomas las líneas del mundo $(t,x_0)$ y $(t,x_0+\ell)$ Aplicar una transformación de Lorentz, y reparametrizar, para obtener las líneas del mundo $(t', x_0'+\beta t')$ y $(t', x_0'+\ell/\gamma+\beta t')$ . La distancia entre las dos líneas cambia a $\ell/\gamma$ y esa es tu contracción de longitud.

Si no puedes expresar la contracción de longitud que te interesa en términos de líneas paralelas, entonces no tiene por qué existir, ¡o puedes conseguir que las distancias sean mayores! Esto podría parecer una contradicción a primera vista (si las cosas se contraen y otras se expanden, ¿no chocarán entre sí en algún momento?), pero la transformación de Lorentz es invertible: no puede haber contradicción.

Los hechos son los siguientes:

Coordenadas terrestres $(t,x)$ :

• Evento en el que sale el barco: $(0,0)$ .
• Evento en el que los alienígenas empiezan a correr: $(0,1)$
• Evento en el que la nave atrapa a los alienígenas: $(5,3)$

Coordenadas del barco $(t',x')$ :

• Evento en el que sale el barco: $(0,0)$ .
• Evento en el que los alienígenas empiezan a correr: $(-0.75, 1.25)$ (se rompe la simultaneidad)
• Evento en el que la nave atrapa a los alienígenas: $(4,0)$
• Lugar en el que se encontraban los alienígenas en $t'=0$ : $(0., 1.0526)$

Estos hechos se derivan directamente de la transformación de Lorentz. La respuesta general para la posición de los extraterrestres en $t'=0$ para una nave espacial que se mueve a velocidad $\beta$ , alienígena moviéndose a gran velocidad $\alpha$ , inicialmente a una distancia $\ell$ desde la Tierra (todas las afirmaciones en t=0 en el sistema de coordenadas de la Tierra), es $\frac{1}{\gamma}\frac{\ell}{1-\alpha \beta}$ con $\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}$ . Esta es la cantidad que se puede dividir por la velocidad de los extraterrestres en el marco de la nave espacial, para obtener el tiempo que tarda la nave espacial.

Eso se parece inquietantemente a la contracción de la longitud y a la adición de la velocidad, así que tal vez haya una buena solución usando eso.

[editar] ¡He encontrado uno! Proceda de la siguiente manera: Imagina una línea paralela a la línea del mundo del alienígena y que pase por el origen, en el marco de la Tierra. Pasa a un marco en el que ambas líneas del mundo son verticales: la distancia horizontal entre las líneas se expande por un factor de $1/\sqrt{1-\alpha^2}$ y la nave espacial se mueve a una velocidad $\beta'=\frac{\beta-\alpha}{1-\beta \alpha}$ . Ahora pasa al marco en el que la nave espacial está en reposo: la nueva distancia se reduce en un factor de $\sqrt{1-\beta'^2}$ . Así que la respuesta es:

$$\ell''=\ell \sqrt{1-\beta'^2}/\sqrt{1-\alpha^2}$$

Poniendo esto en mathematica (me da pereza ampliarlo) $\beta'^2$ !) muestra que, efectivamente:

$$\ell_0'=\ell\sqrt{1-\beta'^2}/\sqrt{1-\alpha^2}=\ell\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{1-\alpha\beta}$$

Dividiendo por el valor absoluto de la velocidad $\frac{\beta-\alpha}{1-\beta \alpha}$ da:

$$t'=\ell\frac{\sqrt{1-\beta^2}}{|\alpha-\beta|}$$

Enchufar $\ell=1$ , $\beta=0.6$ , $\alpha=0.4$ da $t'=4.0$ . Así que $\ell_0'/v'$ realmente da el resultado correcto.