¿Es correcta esta generalización de la desigualdad de Minkowski para las sumas?

Question

¿Podríamos escribir $$f^{-1}\left(\sum_{i=1}^nf(|a_i+b_i|)\right)\leq f^{-1}\left(\sum_{i=1}^nf(|a_i|)\right) +f^{-1}\left(\sum_{i=1}^nf(|b_i|)\right)$$ en lugar de la desigualdad de Minkowski

$$\left(\sum_{i=1}^n|a_i+b_i|^p\right)^{1/p}\leq \left(\sum_{i=1}^n|a_i|^p\right)^{1/p} +\left(\sum_{i=1}^n|b_i|^p\right)^{1/p}$$

para todos $p\ge 1$ y todos los convexos $f$ definido en $[0,\infty)$ tal que $f(0)=0$ y existe la función inversa $f^{-1}$ (es decir $f$ es estrictamente creciente)?

Answer 1

Desde Sobre la desigualdad de Minkowski generalizada en MathOverflow:

La pregunta que usted hace fue formulada en "Sobre las generalizaciones de desigualdad de Minkowski en forma de desigualdad de triángulo" por F. Mulholland (1949). En ese trabajo, Mulholland estableció una condición suficiente condición sobre $f$ , es decir, que debe satisfacer $f(0)=0$ sea creciente en $x \ge 0$ y ser g-convexo es decir, $\log f(e^x)$ es convexo en los reales.

Sin embargo, no es necesaria la condición de Mulholland, que parece haber demostrado muy recientemente en Sobre las funciones que resuelven la desigualdad de Mulholland y sobre las composiciones de tales funciones por M. Petrík (2013)---pero dado el carácter elemental de la cuestión, quizás la no necesidad de la citada hipótesis de convexidad de g de Mulholland haya también se haya observado previamente.