Cardinalidad de un producto de conjuntos múltiples contables

Question

Estoy trabajando en este problema que involucra las colecciones de conjuntos. No estoy muy seguro de cómo abordar este problema. Entiendo que para demostrar que algo es numéricamente equivalente hay que demostrar que existe una biyección. Cualquier ayuda sería apreciada.

Dejemos que $\{A_i\}_{i \in \mathbb{Z_+}}$ sea una colección contable de conjuntos. Sea $B = \displaystyle \prod_{i\in \mathbb{Z_+}}A_i$ sea el producto cartesiano de la colección. Demostrar que si cada conjunto de la colección $\{A_i\}_{i\in \mathbb{Z_+}}$ contiene dos elementos distintos, entonces $B$ es numéricamente equivalente a $\mathbb{R}$ Es decir, $|B|=|\mathbb{R}|$

Answer 1

¿Sabe usted cómo probar que $\mathbb{R}$ es numéricamente equivalente a $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ ? Demuestra que $\mathbb{R}$ es numéricamente equivalente a $(0,1)$ , entonces demuestre (usando la representación binaria; cuidado con los números con representación dual) que hay una incrustación $(0,1)\hookrightarrow \mathcal{P}(\mathbb{N})$ . Entonces demuestre que existe una incrustación $\mathcal{P}(\mathbb{N})\hookrightarrow (0,1)$ Por ejemplo, observando las representaciones decimales de los números que sólo utilizan dos dígitos, ninguno de ellos $0$ o $1$ .

Ahora, si cada $A_i$ tiene exactamente dos elementos, ¿ves una conexión entre $\prod A_i$ y $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ ?

Answer 2

Considere cada conjunto como {0,1} Mapee los elementos del producto en el intervalo unitario cerrado mapeando cada uno a un número binario. Por ejemplo, [0,1,0,1,0,1,..] corresponde a .01010101... [Estoy asumiendo el Axioma de la Elección].

La imagen es incontable con un número contable de duplicaciones, por lo que B debe tener la misma cardinalidad.