Para cada $n \in \Bbb N$ definir $h_n(x)=|x|^{\frac 1n}$ en $[0,1]$ . Demostrar que la familia $\{h_n\}_{n \in \Bbb N}$ no es equi-continuo en $[0,1]$ .

Question

Mi intento:

Dejemos que $(\frac 1{2^n})$ y $(\frac 1{3^n})$ sean dos secuencias en $[0,1]$ .entonces

$|\frac 1{2^n}- \frac 1{3^n}| \rightarrow 0$ como $n \rightarrow \infty.$

Pero $|h_n(\frac 1{2^n})-h_n(\frac 1{3^n})|=|\frac 12 - \frac 13|=\frac 16$ $\forall n$ .

Por lo tanto, la familia no es equi-continua.

Aquí lo que hemos hecho es que hemos encontrado un $\epsilon \gt 0$ (en este caso $\frac 16$ ) tal que para cualquier $\delta \gt 0$ podemos encontrar puntos $x,y \in [0,1]$ (en este caso $\frac 1{2^k}$ y $\frac 1{3^k}$ ) y una función $f$ (en este caso $h_k$ ) tal que $|x-y| \lt \delta$ pero $|f(x)-f(y)| \ge \epsilon$ . Esto es exactamente la negación de la definición de Equi-continuidad.

¿Son correctas mis pruebas y mi comprensión?

Answer 1

Solución alternativa con Ascoli-Arzelà La secuencia es obviamente uniformemente acotada. Si además fuera equicontinua, debería tener una subsecuencia uniformemente convergente. Pero esto es imposible ya que el límite puntual es discontinuo.