La prueba de Fermat de la FLT(4) es un ejemplo de descenso infinito, al igual que la prueba de Euler (o de quienquiera que lo atribuya) de la FLT(3). Hay pruebas similares a la de Fermat para ecuaciones diofantinas como $x^4 + y^4 = 2z^2$ .
He intentado sin éxito ver estas pruebas en términos de homomorfismos de grupo en cónicas y curvas elípticas, pero no está nada claro que esto sea posible.
¿Podemos reinterpretar estas pruebas de descenso infinito geométricamente, en términos de curvas?
(La foto de tu avatar es Weil, ¿verdad? Deberías empezar por leer Teoría de los números de Weil: una aproximación a través de la historia).
FLT(3) es la afirmación de que la curva $x^3+y^3=1$ tiene tres puntos racionales (incluyendo el punto en el infinito). El proceso estándar de poner una curva elíptica en forma de Weierstrass muestra que esta curva es $y^2=x^3-432$ si no recuerdo mal. Ahora utilice el descenso en esta curva elíptica (tal vez una isogenia de grado 3) para demostrar que el grupo Mordell-Weil es finito de orden tres (véase, por ejemplo, Silverman para la teoría general). Esta puede ser la prueba de Euler, tal vez se discute en el libro de Weil.
FLT(4) es más débil que la afirmación de que la ecuación $x^4+y^4=z^2$ sólo tiene las soluciones obvias. De nuevo, esto se convierte en el problema de encontrar los puntos racionales en $y^2=x^4+1$ que es de nuevo una curva elíptica y la prueba de Fermat es un 2 descenso que muestra que el grupo Mordell-Weil es finito de orden cuatro. Estoy bastante seguro de que esto está en el libro de Weil.
No tengo ni idea de qué tienen que ver las cónicas con todo esto.
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