¿Qué es el álgebra de sigma de los conjuntos cilíndricos?

Question

Esta es una pregunta básica, pero aún así $C$ sea el espacio de las funciones continuas de valor real $f$ en $[0,t]$ . Entonces un subconjunto cilíndrico de $C$ se define como un conjunto de la forma

$$ S = \{\, f\in C; \,(f(t_1),\dots\,f(t_n))\in B\} $$

donde $B\in \mathcal{B}^n$ y $0<t_1<\dots<t_n<t$ . Así que, toma

$$ S_1 = \{\, f\in C;\, f(t_1) \in B_1 \} $$ $$ S_2 = \{\, g\in C;\, g(t_2) \in B_2 \} $$

¿Cómo es que la unión de estos dos conjuntos es un subconjunto cilíndrico de C tal y como se ha definido anteriormente? La unión de los conjuntos de funciones $f$ y $g$ tal que $f(t_1)$ está en algún intervalo y $g(t_2)$ está en algún otro intervalo, ¿no es el conjunto de funciones $h$ tal que o bien $h(t_1)$ o $h(t_2)$ pertenecen a dichos intervalos.

¿O es que la suma de los conjuntos $S_1$ y $S_2$ se define como el conjunto cilíndrico que corresponde al conjunto de Borel $(B_1\times\mathbb{R})\, \cup \,(\mathbb{R}\times B_2)$ ?

(Disculpas por la falta de rigor)

Answer 1

Cuidado: la familia de conjuntos cilíndricos (o quizás "una") no tiene por qué ser a priori cerrada bajo uniones. Has dado la definición correcta de conjunto de cilindros, pero ten en cuenta que la familia $$ \{ C_{t_1 \dots t_n} (B) : B \in (\mathcal{B})^n\, \ n \in \mathbb{N}, \ t_1 \dots t_n \in [0,T] \} $$

es sólo un $\pi$ -(es decir, es cerrado bajo intersecciones finitas), no un álgebra o incluso un $\sigma$ -álgebra. Si se desea una propiedad de "unión cerrada" se debe considerar la $\sigma$ -generada por todo conjuntos de cilindros. He aquí una idea: dejemos que $\mathcal{F}_{t_1 \dots t_n}$ sea el $\sigma$ -generada por la familia anterior y definir: $$ \overline{\mathcal{F}} = \bigcup_{n=1}^{+\infty} \bigcup_{t_i \in [0,T], i \le n} \mathcal{F_{t_1 \dots t_n}}. $$ Entonces $ \overline{\mathcal{F}}$ es en realidad un álgebra de conjuntos cilíndricos.