Tipo de descuento de una renta vitalicia

Question

La fórmula del valor actual de una renta vitalicia es:

$$p = \frac{a[1-(1+r)^{-n}]}{r}$$

Dónde:
p = valor actual
r = tipo de descuento
n = número de pagos

Me gustaría encontrar la tasa de descuento, puesto que ya conozco el número y el importe de los pagos, que es \$3000 $ \N - 120 veces. Desafortunadamente, me he encontrado con una situación que involucra un polinomio. Según un pregunta similar no es posible aislar $r$ en un lado de la ecuación. Estoy tratando de evitar el uso de la búsqueda de objetivos en Excel. ¿Es posible introducir primero los otros valores y luego resolver para $r$ ?

Answer 1

Puedes escribir una solución en forma de infinitos radicales anidados. Si pones: $(1+r)=x $ y $a/p=M$ su ecuación se convierte en $$ (M+1-x)x^n=M $$ y lo encuentras: $$ x=\sqrt[n]{\dfrac{M}{M+1-x}} $$ y sustituyendo $x$ recursivamente se encuentra: $$ x=\sqrt[ n]{\dfrac{M}{M+1-\sqrt[n]{\dfrac{M}{M+1-\sqrt[n]{\dfrac{M}{M+1-\cdots }} }} }} $$ Pero me temo que esta fórmula converge con demasiada lentitud para un cálculo eficiente.