¿En qué condiciones $\int_C \frac{e^{iz}}{z} dz$ ¿converger?

Question

$C$ es un arco en el plano complejo que tiene como centro 0, y $R$ como su radio. Comienza en el ángulo $\theta_0$ y termina en $\theta_1$ ( $0 \leq \theta_0 \leq \theta_1 \leq 2\pi$ . La afirmación de mi instructor es que lo siguiente siempre se cumple, sin importar el valor de $\theta_0$ y $\theta_1$ .

$$ \lim_{R\to +\infty} \int_C \frac{e^{iz}}{z} dz = 0$$

¿Es cierta esta afirmación? Si es así, ¿por qué esta integral converge para $\theta_0 = \frac{5\pi}{4},\theta_1 = \frac{7\pi}{4}$ ?

Answer 1

No da una definición precisa de $C$ pero parece que quieres decir que el arco es parte del círculo con radio $R$ y el centro $0$ . Una parametrización viene dada por $z : [\theta_0,\theta_1] \to \mathbb C, z(t) = R e^{it}$ . Desde $z'(t) = iz(t)$ y $iz(t) = iR\cos t - R\sin t$ , se obtiene

$$I(R,\theta_0,\theta_1) = \int_C \frac{e^{iz}}{z}dz = \int_{\theta_0}^{\theta_1}\frac{e^{iz(t)}}{z(t)}z'(t)dt = i \int_{\theta_0}^{\theta_1}e^{iz(t)}dt = i \int_{\theta_0}^{\theta_1} \frac{e^{iR\cos t}}{e^{R\sin t}}dt .$$ Por lo tanto, la afirmación es cierta para $\theta_1 \le \pi$ porque $$\lvert I(R,\theta_0,\theta_1) \rvert \le \int_{\theta_0}^{\theta_1} \left\lvert \frac{e^{iR\cos t}}{e^{R\sin t}}\right \rvert dt = \int_{\theta_0}^{\theta_1} \frac{1}{e^{R\sin t}} dt \le \int_{0}^{\pi} \frac{1}{e^{R\sin t}} dt .$$ Dejemos que $\varepsilon > 0$ . Elija $\delta > 0$ tal que $\int_{0}^{\delta} \frac{1}{e^{R\sin t}} dt , \int_{\pi- \delta}^{\pi} \frac{1}{e^{R\sin t}} dt < \varepsilon /4$ . Dejemos que $\mu = \min \{\sin t \mid t \in [\delta, \pi-\delta] \}$ . Entonces

$$\int_{\delta}^{\pi-\delta} \frac{1}{e^{R\sin t}} dt \le \int_{\delta}^{\pi-\delta} \frac{1}{e^{R \mu}} dt$$ que es $< \varepsilon/2$ para $R \ge R_0$ .

Para $\theta_0 = 0$ y $\theta_1 = 2\pi$ la afirmación no es cierta. Por la fórmula integral de Cauchy tenemos $$\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{e^{iz}}{z - 0}dz = e^{i0} = 1, $$ así $$I(R,0,2\pi) = 2 \pi i .$$ Concluimos que la afirmación también es falsa cuando $0 \le \theta_0 \le \pi$ y $\theta_1 = 2\pi$ . De hecho $$I(R,\theta_0,2\pi) = I(R,0,2\pi) - I(R,0,\theta_0) \to 2\pi i .$$