Es cualquier compacto, trayectoria-conectado subconjunto de $\mathbb{R}^n$ la imagen continua de $[0,1]$?

Question

Si $f:[0,1] \to \mathbb{R}^n$ es cualquier mapa continuo, entonces la imagen de a $f([0,1])$ es un compacto, trayectoria-conectado, que es fácil demostrar el uso de algunos elementales de topología.

Mi pregunta es a la inversa:

Es decir, si $K \subset \mathbb{R}^n$ es compacto y trayectoria-conectado, entonces ¿existe un mapa continuo $f:[0,1] \to \mathbb{R}^n$ tal que $K = f([0,1])$?

Mi intento en el problema:

Tengo una corazonada de que pueda ser cierto.

Para cualquier $k \in \mathbb{N}$, existe un continuo surjection $f:[0,1] \to [0,1]^k$, que puede ser realizado con un espacio de llenado de la curva. Por lo tanto, cualquier finito-dimensional del cubo puede ser comprendido como la imagen continua de $[0,1]$.

Deje $K \subset \mathbb{R}^n$ ser compacto y trayectoria-conectado. Mi amigo sugirió que sería suficiente para mostrar que el $K$ tiene la estructura de un CW-complejo con un número finito de celdas y, a continuación, utilice el hecho de que cualquier finito-dimensional del cubo se dio cuenta de que la imagen continua de $[0,1]$. Sin embargo, no sé si esto es cierto.

Edit: resulta que la respuesta es aún más interesante de lo que yo esperaba, y es proporcionado por el HM teorema: http://en.wikipedia.org/wiki/Space-filling_curve#The_Hahn.E2.80.93Mazurkiewicz_theorem

Answer 1

He aquí una no-trivial ejemplo: el cierre de la topologist de la curva sinusoidal con los extremos que se unieron.

Si desea una representación explícita, tomar $$\{(x,y) : 0< x\leq 1, y = \sin(1/x) \} \bigcup \{(0,y): -1\leq y\leq 1\} \bigcup \{(x,0): -1\leq x\leq 0\} \bigcup \{(-1,y): -2\leq y\leq 0 \} \bigcup\{(x,-2): -1\leq x \leq 1\} \bigcup \{(1,y): -2\leq y\leq \sin(1) \}.$$

Answer 2

Trivialmente, no. Deje $K=\emptyset$. El conjunto vacío se cierra como $\mathbb{R}^n$ está abierto, ciertamente limitada. Y dados dos puntos cualesquiera $x,y \in \emptyset$, hay un camino que los conecta. :)