Si $a$ y $b$ viajar en un $C^*$ -y el álgebra $a$ es normal, entonces $f(a)$ y $b$ conmutan para cualquier continuo $f$

Question

Estoy tratando de encontrar una manera de demostrar lo siguiente:

Dejemos que $(A,*,\|\cdot\|)$ sea un unital $C^*$ -Álgebra. Si $a,b\in A$ ir al trabajo y $a\in A$ es normal (es decir $a^*a=aa^*$ ), entonces para toda función continua $f:$ Sp $(a)\to\mathbb{C}$ , $f(a)$ y $b$ conmutan (donde Sp $(a)$ denota el espectro de $a$ y $f(a)$ está dada por el cálculo funcional).

Hasta ahora, he tratado de mostrar que $\|f(a)b-bf(a)\|=0$ sabiendo que $ab=ba$ o, de forma equivalente, $\|ab-ba\|=0$ pero no he llegado a ninguna parte con esto. Cualquier pista/sugerencia sería muy apreciada.

Answer 1

Por Teorema de Fuglede , $b$ también se desplaza con $a^*$ . Por lo tanto, $b$ conmuta con cada elemento del unital $*$ -generada por $a$ y, por tanto, también con cada elemento de su cierre $C^*(1,a)$ . Para cada continuo $f:\sigma(a)\to\mathbb C$ , $f(a)$ está en $C^*(1,a)$ y por lo tanto $b$ se desplaza con $f(a)$ .