Encontrar un punto a partir de 3 o 4 distancias con errores

Question

Tengo 3 puntos de referencia en un espacio 3d, P1, P2, P3, con coordenadas conocidas. P1, P2 y P3 están en posiciones diferentes entre sí.

Tengo un cuarto punto, P0, que necesito localizar, y tengo una medida de distancia desde P0 a cada uno de los puntos de referencia conocidos P1, P2, P3, que podemos llamar D1, D2, D3. Cada medición de distancia tiene un error potencial, que podemos llamar E1, E2, E3 (una cantidad máxima que puede ser errónea, aunque puede ser en cualquier dirección, por ejemplo, la verdadera distancia entre P0 y P1 está entre D1-E1 y D1+E1).

¿Cómo puedo calcular la posición de P0?

Sé que la ubicación podría describirse mejor como una forma que es la intersección o casi intersección de tres conchas esféricas, cada una centrada en los puntos P1-P3, con un grosor equivalente a 2xE1 (o E2 o E3). Idealmente, me gustaría una manera de calcular una ubicación específica 'mejor estimación', tal vez asumiendo que los errores son cero, o en el centro de la forma de intersección, o algo - no estoy seguro de lo que sería mejor - y también calcular el posible error en ese punto. Como mínimo, necesito un punto único de "mejor estimación".

Sé que esto es posible ya que el GPS utiliza un cálculo similar.

He encontrado https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/cms_upload/Thompson07734.pdf lo que sugiere que se necesita un cuarto punto de referencia. Eso sería aceptable si fuera así (llámalo P4, con E4. Pero me quedo atascado en la fórmula de la parte superior de la página 265.

También encontré https://inside.mines.edu/~whereman/papers/Murphy-Hereman-Trilateration-MCS-07-1995.pdf pero me pierdo mucho en eso.

Lo ideal es que busque una fórmula, un algoritmo o un código.

Si lo anterior es demasiado difícil, mi pregunta de apoyo sería suponer que P1, P2 y P3 están en uno de los ejes (y un P4 opcional en el origen si es necesario) - P1 está en el eje X, distancia o1 del origen, P2 está en el eje Y, distancia o2 del origen, P3 está en el eje Z, distancia o3 del origen (y P4 está en el origen). Por favor, especifique si su respuesta se basa en esto.

Answer 1

Los tres puntos de referencia definen un plano que los contiene.
Así que podemos tomar un sistema de referencia que tenga ese plano como, por ejemplo, el $x-y$ plano, y un $z$ eje normal a él.

Luego, visualmente, hay que construir una "tienda" ( $3$ -D simplex) a partir de los tres puntos, con tres polos de longitud dados por las distancias medidas y determinar el vértice.
El problema es que se puede construir la misma tienda también en negativo $z$ dirección: por eso necesitará un cuarto punto de referencia para determinar en qué lado de la $z$ eje $P_0$ es (a menos que lo sepas a priori).

En cualquier caso se trata de un problema a resolver en términos de Coordenadas baricéntricas que es un método bien conocido y utilizado: en el artículo citado puedes encontrar los fundamentos para convertir a/desde coordenadas baricéntricas y euclidianas.

Answer 2

Primero pondría $P_i$ para estar en $(x_i,y_i,z_i)$ para facilitar su consulta.

Entonces, utilizando la fórmula de la distancia tenemos $$\left(D_i-E_i\right)^2\le(x_0-x_i)^2+(y_0-y_i)^2+(z_0-z_i)^2\le\left(D_i+E_i\right)^2$$

que es una región entre dos esferas centradas en $P_i$ con la más pequeña de radio $D_i-E_i$ y el mayor de radio $D_i+E_i$ .

Finalmente, se pueden formar tres de estas desigualdades (o ecuaciones si se toma $E_i=0$ ) y resolver el lugar/coordenadas del punto $P_0$ . Esto es muy fácil de hacer con la ayuda de un software gráfico (por ejemplo, GeoGebra, que es completo y gratuito). Aquí es un ejemplo que acabo de hacer en Geogebra suponiendo $E_i=0$ .

La desigualdad anterior también es realmente equivalente a las ecuaciones de la página 265. Es sólo una cuestión de diferencias notacionales.