¿Cómo pueden los residuos ser iid y sumar cero al mismo tiempo?

Question

La fórmula de la regresión lineal es la siguiente

$y_i= \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$ , donde $e_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$

Por favor, corríjanme si lo anterior es incorrecto.

Sin embargo, por varios posts y notas, también he leído que los residuos de una regresión lineal (con un término de intercepción) siempre suman cero. Por lo tanto, por definición los residuos NO son iid. ¿Cómo puede $e_i \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$ y sumar a cero al mismo tiempo?

Sé que estoy haciendo una afirmación incorrecta en alguna parte, pero no estoy seguro de dónde. Gracias.

Answer 1

Creo que se confunden los residuos y los errores. Los residuos, a menudo señalados $\hat{\varepsilon}_i$ o $e_i$ son $$\hat{\varepsilon}_i = y_i - \hat{y}_i = y_i - \hat{\beta}_0 - \hat{\beta}_1 x_i$$ mientras que los errores son $$\varepsilon_i = y_i - {\beta}_0 - {\beta}_1 x_i$$ La pequeña (¡pero crítica!) diferencia es el sombrero sobre las betas. Por eso los residuos se suelen señalar con un sombrero: son estimaciones de los errores. Los residuos no son independientes, ya que suman 0, pero los errores sí lo son (por suposición del modelo).