Estructura de anillos en subconjuntos de los números naturales

Question

Dejemos que $$\mathcal{N}=\{\{k_1,\ldots,k_s\}:\ s>0,\ \mbox{and the}\ k_i\ \mbox{are non-negative and pairwise different integers}\}\cup\{\emptyset\}.$$ Nótese que existe una biyección con los naturales, $$ \begin{array}{rccc} B:&\mathcal{N}&\longrightarrow &\mathbb{N}\\ &\emptyset& \longmapsto & 0\\ &\{k_1,\ldots,k_s\}& \longmapsto & 2^{k_1}+\cdots+2^{k_s} \end{array}. $$

Para $K,L\in\mathcal{N}$ definir $$K\oplus L=(K\cup L)\setminus(K\cap L),$$ $$K\otimes L=\bigoplus_{k\in K,\ l\in L}\{k+l\}.$$

La definición del producto no tiene sentido si $K$ o $L$ está vacío. En ese caso, el producto será $\emptyset$ .

Nótese que la suma que he definido es sólo la suma Nim (justificando la etiqueta CGT) pero el producto no es el producto Nim habitual. En particular, estoy utilizando la asociatividad de $\oplus$ para definir $\otimes$ .

Estas son mis preguntas:

1) Si no me equivoco $(\mathcal{N},\oplus,\otimes)$ es un anillo conmutativo con unidad. ¿Alguien puede confirmarlo? En principio la propiedad distributiva es la única complicada.

2) Si efectivamente tenemos un anillo, ¿qué se sabe de él?

Answer 1

Su anillo es isomorfo a $\Bbb F_2[X]$ .

Para $k \ge 0$ , defina $1_k : \mathcal N \to \Bbb F_2$ por $1_k(A) = 1$ si $k\in A$ y $0$ de lo contrario.

Entonces defina $f : \mathcal N \to \Bbb F_2[X]$ por $f(A) = \sum_{k \ge 0} 1_k(A) X^k$ .
Puede comprobar que $f(A)+f(B) = \sum_{k \ge 0} (1_k(A)+1_k(B)) X^k = \sum_{k \ge 0} l_k(A \oplus B) X^k = f(A \oplus B)$ . Y $f(A)f(B) = (\sum_{k \ge 0} 1_k(A)x^k)(\sum_{l \ge 0} 1_l(A)X^l) = \sum_{k,l \ge 0} 1_k(A)1_l(B)X^{k+l} = \sum_{k,l \ge 0} 1_k(A)1_k(B)f(\{k+l\}) = \sum_{k \in A, l \in B} f(\{k+l\}) = f(\bigoplus_{k \in A, l \in B} \{k+l\}) = f(A \otimes B)$