Construir un campo con $8$ pregunta de los elementos.

Question

La prueba comienza con:

Dejemos que $x^3+x+1$ sea un polinomio sobre el campo $\Bbb Z_2$ . Porque no tiene $0$ es irreducible y por lo tanto $\Bbb Z_2[x] / \langle x^3 + x + 1 \rangle = \{ax^2 + bx + c + \langle x^3 + x + 1 \rangle: a, b, c \in \Bbb Z_2 \}$ es un campo y tiene $8$ elementos.

Mi pregunta es, ¿cómo se puede escribir el campo como este conjunto? y ¿Cómo hay sólo $8$ ¿elementos?

Answer 1

En el cociente, $x^3+x+1=0$ es decir $x^3=-x-1$ . Por lo tanto, se puede sustituir cada ocurrencia de $x^3$ con $-x-1$ . Esto significa que se puede "reducir" el grado de cada polinomio en el cociente a $2$ o inferior que le da la representación deseada como conjunto. Sólo hay $8$ elementos en el campo porque sólo tiene $2$ opciones para cada uno de los parámetros $a,b,c$ ( $0$ y $1$ ), que le da $2^3=8$ elementos.