Cálculo Spivak Capítulo 5 Problema 10 (b)

Question

No estoy seguro de cómo resolver este problema y lamentablemente no entiendo la solución dada. El problema es el siguiente (Spivak, Cálculo, 3ª edición, pág. 107, Problema 10-(b)):

Demostrar que $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=\lim\limits_{x \to a} f(x-a)$ .

Mi intento:

1. " $\Rightarrow$ ": Que $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=m$ . Entonces, para cada $\varepsilon>0$ hay un $\delta>0$ tal que, para todo $x$ , si $0<\lvert x-0\rvert<\delta$ entonces $\lvert f(x)-m\rvert<\varepsilon$ . Ahora dejemos que $0<\lvert (x-a)-0\rvert<\delta$ (que también se puede escribir $0<\lvert x-a\rvert<\delta$ ), entonces $\lvert f(x-a)-m\rvert<\varepsilon$ . Así, $\lim\limits_{x \to a} f(x-a)=m$ .
2. " $\Leftarrow$ ": Que $\lim\limits_{x \to a} f(x-a)=m$ . Entonces, para cada $\varepsilon>0$ hay un $\delta>0$ tal que, para todo $x$ , si $0<\lvert x-a\rvert<\delta$ entonces $\lvert f(x-a)-m\rvert<\varepsilon$ . Ahora dejemos que $0<\lvert y\rvert<\delta$ . ( $0<\lvert y-0\rvert<\delta$ .) Esta desigualdad se puede escribir $0<\lvert (y+a)-a\rvert<\delta$ . De ello se desprende que $\lvert f((y+a)-a)-m\rvert<\varepsilon$ que es $\lvert f(y)-m\rvert<\varepsilon$ . Así, $\lim\limits_{y \to 0} f(y)=m$ (que equivale a $\lim\limits_{x \to 0} f(x)=m$ ).

La solución de Spivak:

Supongamos que $\lim\limits_{x \to a} f(x)=l$ y que $g(x)=f(x-a)$ . Entonces, para todos los $\varepsilon>0$ hay un $\delta>0$ tal que, para todo $x$ , si $0<\lvert x-a\rvert<\delta$ entonces $\lvert f(x)-l\rvert<\varepsilon$ . Ahora bien, si $0<\lvert y\rvert<\delta$ entonces $0<\lvert (y+a)-a\rvert<\delta$ Así que $\lvert f(y+a)-l\rvert<\varepsilon$ . Pero esta última desigualdad se puede escribir $\lvert g(y)-l\rvert<\varepsilon$ . Así que $\lim\limits_{y \to 0} g(x)=l$ . El argumento en sentido inverso es similar.

Mis problemas: ¿Por qué empieza con $\lim\limits_{x \to a} f(x)=l$ ? ¿Por qué puede $\lvert f(y+a)-l\rvert<\varepsilon$ se escriba $\lvert g(y)-l\rvert<\varepsilon$ ? (Si $g(x)=f(x-a)$ entonces no debería $f(y+a)=g(y+2a)$ ?) Parece que está tratando de demostrar $\lim\limits_{x \to a} f(x)=\lim\limits_{x \to 0} f(x-a)$ ...lo cual es muy extraño...

Answer 1

De hecho, Spivak comete un error en su argumento: la desigualdad $$ |f(y+a)-l|<\epsilon $$ puede no se escriba como $$ |g(y)-l|<\epsilon $$ La definición de $g$ es $g(y)=f(y-a)$ no $g(y)=f(y+a)$ .

Este error también se encuentra en la cuarta edición de su libro.

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Una vez que se entienden las ideas subyacentes y se puede escribir correctamente una demostración formal, la "solución" no es tan importante. En los libros de texto, los autores se equivocan de vez en cuando; a veces, cuando presentan un argumento $X$ para mostrar la declaración $Y$ Puede que realmente quieran escribir el argumento $X'$ .

El espíritu de la prueba de este problema está en el comentario de Spivak en su solución:

Intuitivamente, hacer $x$ cerca de $a$ es lo mismo que hacer $x-a$ cerca de $0$ .

Su intento es correcto. Sin embargo, podría cambiar ligeramente su redacción.

Supongamos que $\lim_{x\to 0}f(x)=m$ . Queremos demostrar que $\lim_{x\to a}f(x-a)=m$ . Dejemos que $\epsilon>0$ . Existe $\delta>0$ tal que $$ \textrm{for every $ x $ with } 0<|x-0|<\delta,\quad|f(x)-m|<\epsilon. \tag{1} $$ Si $0<|y-a|=|(y-a)-0|<\delta$ entonces (1) implica que $|f(y-a)-m|<\epsilon$ . Así, $ \lim_{y\to a}f(y-a)=m, $ es decir $ \lim_{x\to a}f(x-a)=m. $

Por el contrario, supongamos que $ \lim_{x\to a}f(x-a)=m. $ Queremos demostrar que $\lim_{x\to 0}f(x)=m$ . Dejemos que $\epsilon>0$ . Existe $\delta>0$ tal que $$ \textrm{for every $ x $ with } 0<|x-a|<\delta,\quad|f(x-a)-m|<\epsilon. \tag{2} $$ Si $0<|y|=|(y+a)-a|<\delta$ entonces (2) implica que $|f(y)-m|=|f((y+a)-a)-m|<\epsilon$ . Por lo tanto, $\lim_{y\to 0}f(y)=m$ .