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La extensión de la inducida por representantes de más de Z: es una suma de la inducida por el reps?

Deje $G$ ser un grupo finito. Si $L$ es de un número finito de libre $\mathbf{Z}$-módulo con una acción de $G$, decir $L$ es inducida por si es isomorfo como un $G$-módulo de a $Ind_H^G(\mathbf{Z})$ $H$ a un subgrupo de $G$ $H$ actuando trivialmente en $\mathbf{Z}$. Y, a falta de mejor terminología, vamos a decir $L$ es una suma de induceds si es isomorfo a una suma directa de la inducida por módulos en el sentido anteriormente. [EDIT: Ben Webster señala que "la permutación de la representación" es un lugar mejor nombre para este concepto! Es sólo el $\mathbf{Z}$-proveniente del módulo de la acción de la $G$ sobre un conjunto finito.]

La pregunta: Es de un número finito de libre $\mathbf{Z}$-módulo que es una extensión de una suma de induceds por otro, también una suma de induceds?

Más de $\mathbf{Q}$ esto es trivial debido a que cada corto exacta de la secuencia se divide. Pero esto no es cierto por $\mathbf{Z}$. Por ejemplo, hay dos acciones de $\mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$ $\mathbf{Z}^2$ que se convierten en el grupo de anillo de más de $\mathbf{Q}$: uno tiene la no-trivial elemento que actúa como $(1,0;0,-1)$ y el otro tiene que actuar como $(0,1;1,0)$. El último es un no-división de extensión de la trivial 1-d de la representación por parte de los no-trivial (y también un no-división de extensión de la no-trivial por el trivial). Tenga en cuenta que esta no-división de extensión es inducida.

Hay mod $p$ extensiones que no divida. Por ejemplo, durante la $\mathbf{Z}/p\mathbf{Z}$ no es no trivial de la extensión de la representación trivial por sí mismo. Pero esta extensión no se levante a una extensión de la trivial $\mathbf{Z}$-módulo por sí mismo.

¿Por qué me interesa? Para aquellos que saben lo que es un $z$-extensión de la conexión de un reductor de grupo sobre un campo de número es, mi "real" la pregunta es: es un $z$-extensión de una $z$-extensión todavía un $z$-extensión? He comprobado el geométrica temas aquí, pero la media aritmética de arriba es el que no he resuelto. $G$ es un grupo de Galois y el $\mathbf{Z}$-los módulos son los grupos de personajes de la central de tori en cuestión. Si he entendido las cosas correctamente, $z$- extensión de una $z$-extensión es un $z$-extensión de la fib, la pregunta que hago de arriba tiene una respuesta positiva.

Tenga en cuenta, finalmente, que la aplicación de la larga secuencia exacta de cohomology, y usando el hecho de que la inducida por las representaciones no tienen cohomology por Shapiro del Lexema, vemos que la extensión estoy interesado en también no tiene cohomology (y, además, su restricción a cualquier subgrupo no tiene cohomology). Esto es suficiente para mostrar que es inducida?

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Chad Cooper Puntos 131

En mi interpretación de su descripción, una suma de induceds es sólo la permutación representación de algunos (no necesariamente conectado) G-conjunto. La representación $\mathrm{Hom}(V_1,V_2)$, para las dos permutación de representaciones es en sí misma permutación: es la permutación de acción producto de la G-conjuntos.

Por eso, $\mathrm{Ext}^1(V_1,V_2)=H^1(G,\mathrm{Hom}(V_1,V_2))$ que usted reclama que se desvanece. Por lo que a mí me parece cada extensión entre permutación de las representaciones se divide. [EDIT: yo no estoy nervioso] todavía estoy un poco nervioso acerca de esta cohomology de fuga, pero no sé integral de la teoría de la representación tan bien, así que es difícil para mí decir.

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