Tensores isotrópicos de $O(N)$

Question

Recientemente me he encontrado con algo con lo que no estoy especialmente familiarizado, a saber, los invariantes tensoriales de $O(N)$ o tensores isotrópicos de $O(N)$ como creo que también se les llama. Lo que me gustaría saber es si existen tensores isotrópicos de $O(N)$ que no son deltas de Kronecker, Levi-Civita o una combinación de ambos.

He estado mirando artículos como https://www.cambridge.org/core/services/aop-cambridge-core/content/view/S0017089500006832 y dice que es cierto para $SO(N)$ es decir $O(N)$ con determinante uno. Desgraciadamente, este artículo sólo cubre los invariantes tensoriales de $SO(N)$ y no el completo $O(N)$ .

Answer 1

Así que ya conoces cada invariante tensorial de $SO(N)$ es una combinación de deltas de Kronecker y Levi-Civitas. Y $SO(N)$ es un subgrupo de $O(N)$ por lo que sus tensores invariantes son a super conjunto de los de $O(N)$ . Esto responde a su pregunta principal: todos los tensores invariantes de $O(N)$ puede escribirse como una combinación de deltas de Kronecker y Levi-Civitas.

Pero lo contrario no tiene por qué ser cierto. No todas las combinaciones de deltas de Kronecker y Levi-Civitas son $O(N)$ invariante. Por ejemplo, el propio símbolo de Levi-Civita no lo es.

Creo que los restantes tensores invariantes son, de hecho, sólo las combinaciones de los deltas de Dirac, pero no se me ocurre una prueba.