Compactación y compactación secuencial

Question

Dejemos que $X$ sea un conjunto no vacío. Si la topología contable $\tau$ se considera en $X$ entonces quiero encontrar todos los subconjuntos compactos y secuenciales compactos de $X$ .

Definitivamente, sólo los subconjuntos finitos de $X$ son compactos. Pero estoy en la confusión para encontrar todos los conjuntos secuencialmente compactos. ¿Hay algún conjunto infinito que sea secuencialmente compacto? Por favor, ayuda.

Answer 1

De nuevo, los únicos conjuntos secuencialmente compactos son finitos. De hecho, se puede demostrar que las únicas secuencias convergentes son las que son eventualmente constantes :

Si $(x_n) \subset X$ tal que $x_n \to l$ y, a continuación, establecer $A = \{x_n : x_n \neq l\}$ entonces $A$ es contable, y $U = X\setminus A$ es una vecindad abierta de $l$ . Así que $\exists N \in \mathbb{N}$ tal que $x_n \in U$ para todos $n\geq N$ . Pero eso implica que $x_n \notin A$ , lo que significa que $x_n = l$ para todos $n\geq N$

Ahora, dejemos que $Y \subset X$ sea un conjunto infinito, entonces elige una secuencia $(x_n) \subset Y$ con términos distintos. Toda posible sucesión de $(x_n)$ tiene términos distintos, por lo que no converge. Por lo tanto, $Y$ no es secuencialmente compacto.