Esto está un poco fuera de mi campo de acción, así que alguien por favor señale los errores si los hay. EDIT: Me he dado cuenta de algunos errores en mi respuesta original, con la ayuda de la indicación del OP, y mis correcciones siguen a esta respuesta: https://math.stackexchange.com/a/213388/
Para Hausdorffness, dejemos que $x,x' \in E$ sean dos puntos distintos. Hay dos casos. En el primer caso, si $\pi(x) \neq \pi(x')$ Entonces, como $M$ es Hausdorff, podemos elegir conjuntos abiertos disjuntos $U, U'$ con $\pi(x) \in U$ , $\pi(x') \in U'$ . Entonces $\pi^{-1}(U)$ y $\pi^{-1}(U')$ son conjuntos abiertos disjuntos con $x \in \pi^{-1}(U)$ y $x' \in \pi^{-1}(U')$ . Nótese que para este caso no es necesario garantizar que $U, U'$ sean dominios de coordenadas.
Para el segundo caso, supongamos $\pi(x) = \pi(x') =p$ . A continuación, elija un dominio de coordenadas $U$ en $M$ que contiene $p$ con un homeomorfismo $\phi: \pi^{-1}(U) \to U \times \mathbb{R}^k$ . Desde $U \times \mathbb{R}^k$ es Hausdorff, tome conjuntos abiertos disjuntos $V, V' \subset U \times \mathbb{R}^k$ con $\phi(x) \in V$ , $\phi(x') \in V'$ . Entonces $x \in \phi^{-1}(V)$ y $x' \in \phi^{-1}(V')$ y estos son conjuntos abiertos disjuntos en $E$ .
Para la segunda contabilidad, toma una base contable $\mathcal{B}$ para $M$ , entonces para cada $U \in \mathcal{B}$ , tome una base contable para $\pi^{-1}(U) \simeq U \times \mathbb{R}^k$ .
