A lo largo de esta respuesta, cuando hablo de un cubo unitario o de una traducción de $A$ estar "en" algún punto $(x,y,z)$ , querré decir que la esquina inferior izquierda (0,0,0) se traslada a ese punto. Los detalles de esta respuesta son bastante complicados en algunos puntos, por lo que omitiré algunos detalles cuando se limiten a comprobar muchos casos que son todos cualitativamente similares.
Me parece que $A+A$ consiste en cubos unitarios en $(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ y las traducciones de $A$ en $(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)$ . Del mismo modo, considero que $[0,1]^3 + A$ consiste en cubos unitarios en $(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)$ y una traducción de $A$ en $(1,1,1)$ . Se seguirá por inducción que todas las sumas superiores de $A$ como por ejemplo $A+A+A$ son también uniones de cubos unitarios y traslados de $A$ .
Cualquier punto $(x,y,z)$ con a lo sumo uno de $x,y,z$ en $(1,2]$ , digamos que $x\in (1,2]$ y $y,z \in [0,1]$ se puede llegar a una suma como $(1,y,0) + (x-1,0,z)$ . Esto demuestra que $A+A$ contiene los cubos de la unidad como se afirma. Del mismo modo, para $[0,1]^3 + A$ siempre y cuando uno de $x,y,z\in [0,2]$ es como máximo 1, digamos $z\leq 1$ y $x,y\in [1,2]$ podemos escribir algo como $(x,y,z) = (1,1,z) + (x-1,y-1,0) \in [0,1]^3 + A$ . Así que los cubos unitarios de $[0,1]^3 + A$ son como se afirma.
Ahora, para demostrar que hay traducciones de $A$ en los lugares reclamados requiere dos cosas: Demostrar que la suma de Minkowski contiene al menos $A$ en ese punto es fácil, por ejemplo, demostrar que $A+A$ contiene una traducción de $A$ en $(1,1,0)$ se deduce inmediatamente del hecho de que $(1,1,0)\in A$ Por lo tanto $(1,1,0)+A \subset A+A$ . Sin embargo, para demostrar que $A + A$ no contiene nada más dentro del cubo de la unidad en $(1,1,0)$ es más difícil, y realmente es el único paso difícil en toda esta prueba. Aquí va:
Queremos demostrar que $A+A$ se interseca con el cubo unitario en $(1,1,0)$ no contiene puntos dentro de la distancia 1 de la esquina superior derecha $(2,2,1)$ . Esto significa que $||(2,2,1) - x - y||\geq 1$ para cualquier $x,y\in A$ . Equivalentemente, $||\left( (1,1,1) - x \right) + \left( (1,1,1) - y\right) - (0,0,1)|| \geq 1$ . Ahora, por la definición de $A$ , ambos $(1,1,1) - x$ y $(1,1,1) - y$ son vectores con todas las componentes no negativas cuya longitud es al menos 1. El caso extremo es cuando ambos vectores se encuentran en la esfera unitaria. Supongamos que este es el caso, y llamemos a $u=(1,1,1)-x$ y $v=(1,1,1)-y$ . Entonces la desigualdad anterior se puede escribir $||u+v-e_3||\geq 1$ . Esto equivale a su vez a $||u - (e_3-v)||\geq 1$ que tiene la siguiente interpretación geométrica: $u$ se encuentra en el octante positivo de la esfera unitaria centrada en el origen, y $e_3 - v$ se encuentra en el octante negativo de la esfera unitaria centrada en $e_3$ por lo que sólo estamos afirmando que la distancia entre el octante positivo de la esfera unitaria centrada en el origen y el octante negativo de la esfera unitaria centrada en $e_3$ es al menos 1.
![Spheres]()
Para que dos puntos de las dos esferas sean minimizadores de la distancia, o bien deben ser puntos límite o bien los planos tangentes a estos dos puntos deben ser perpendiculares a la recta que los une, y en particular los planos tangentes de los dos puntos deben ser paralelos entre sí. No voy a repasar aquí todos los casos, pero básicamente el último caso de planos tangentes paralelos no puede ser un minimizador de la distancia, porque los puntos con planos tangentes iguales tendrían que ser puntos opuestos en las respectivas esferas, y como las dos esferas están desplazadas entre sí, los planos tangentes de esos puntos no son perpendiculares a la recta que los une. Del mismo modo, cuando se trabaja con todos los puntos límite, se encuentra que los únicos minimizadores posibles son los vértices de los octantes de la esfera, y al comprobar los 9 casos se puede ver que la distancia mínima es 1, como se desea.
Esto demuestra la afirmación de que $A+A$ es una unión de cubos y traslaciones de $A$ . Un argumento similar y más sencillo muestra que $[0,1]^3 + A$ tiene una traducción de $A$ en $(1,1,1)$ .
Ahora ambos $A+A$ y $[0,1]^3 + A$ consisten en una unión de cubos y traslados de $A$ que están dispuestas en un entramado. Inductivamente se puede ver que $A+A+A$ puede descomponerse en una unión de traslados de $[0,1]^3 + A$ y $A+A$ y, por lo tanto, consistirá en una unión de cubos y de traslaciones de $A$ . Averiguar dónde van todos es un problema combinatorio. Añadiendo $A$ a un cubo en $(x,y,z)$ dará lugar a cubos en $(x+1,y,z), (x,y+1,z),\dots$ y una traducción de $A$ en $(x+1,y+1,z+1)$ y añadiendo $A$ a una traducción de $A$ en $(x,y,z)$ dará lugar a cubos en $(x,y,z), (x+1,y,z), (x,y+1,z), (x,y,z+1)$ y traduce de $A$ en $(x+1,y+1,z), (x+1,y,z+1),(x,y+1,z+1)$ . Trabajando en todo esto, encuentro que $A+A+A$ tendrá traducciones de $A$ en $(2,2,0),(2,0,2),(0,2,2),(2,1,1),(1,2,1),(1,1,2)$ y cubos en $(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)(2,0,0),(0,2,0),(0,0,2),(2,1,0),(2,0,1),(1,2,0),(0,2,1)$ .
Resultados análogos deberían ser válidos en todas las dimensiones. En general, $A+A$ consistirá en traducciones de $A$ en todos los puntos de la forma $(1,1,\dots,1) - e_k$ para algunos $k$ y cubos en todos los puntos de la forma $(1,1,\dots,1) - e_{k_1} - e_{k_2} - \dots$ es decir, puntos con al menos dos coordenadas 0 y el resto 1. Entonces sumas superiores como $A+A+A$ consistirá en traducciones de $A$ en puntos como $(2,2,\dots,2) - e_{k_1}-e_{k_2}$ de los cuales hay $\binom{2+n-1}{2}$ (con $n$ siendo la dimensión del espacio), junto con cubos en todos los puntos "inferiores", es decir, restando más $e_k$ 's.
