Derivación de la probabilidad de un suceso - Teorema de Chebyshev

Question

Pregunta: Para la variable aleatoria X, donde E(X) = 0 y Var(X) = 1, deduzca la cota superior de la probabilidad del suceso $\{|X-.6| > .2\}$ .

Mi intento: Usando la desigualdad de Chebyshev- Prob( $|X-E(X)| > \epsilon) \leq \frac{Var(X)}{\epsilon^2} = \frac{1}{(.2)^2} = 25.$

A) ¿Sin la hipótesis de la distribución es esto correcto? Estoy pensando que como la probabilidad es mayor que 1 entonces esto es una desigualdad trivial. He visto definiciones alternativas de la desigualdad de Chebyshev donde $\epsilon$ es $k \sigma$ y si k es mayor o igual a 1 entonces esto sucede. Sin embargo, 25 parece un número inusual. ¿Me estoy perdiendo algo?

B) Como continuación y para una mayor comprensión, ¿cómo cambiaría la probabilidad si X se distribuyera normalmente con media = 0 y varianza = 1? Utilizando la integral de aproximación normal de la probabilidad obtengo que la probabilidad es de 3,96953... Aunque 25 y 3,96 son muy diferentes, ¿la exactitud es siquiera una cuestión ya que ambas probabilidades son mayores que 1?

Answer 1

Has utilizado mal la desigualdad de Chebyshev. Has calculado $P(|X|> .2)$ no $P(|X-.6|>.2)$ . Utilizando la desigualdad de Markov (es decir, la de Chebyshev) obtenemos $$P(|X-.6|>.2)=P((X-.6)^2>.04)\le\frac{E(X-.6)^2}{.04}=\frac{1-0+.36}{.04}$$

Aun así, esto es mayor que $1$ . Esto es de esperar. Considere $X$ para ser una moneda de cambio con $50/50$ tiro de $\pm 1$ . Entonces $E(X)=0, \operatorname{var}(X)=1$ . Y para todos $\varepsilon<1$ tenemos $$P(|X|>\varepsilon)=1$$

Puede modificar esto para el caso de $|X-.6|$ .

Así que el mejor límite que podemos obtener es $1$ sin más información.