$(\mathbb{C}[x,y]/(xy))_x \simeq \mathbb{C}[x]_x$

Question

Tengo que demostrar que hay un isomorfismo $(\mathbb{C}[x,y]/(xy))_x \simeq \mathbb{C}[x]_x$ .

Geométricamente la situación es clara porque tenemos que $Spec(S^{-1}A)$ es el conjunto de ideales primos que no contienen $f$ (puntos tales que $f$ no desaparece), donde $S=\{1,f,f^2,\dots\}$ . Así que a la izquierda $f=x$ y $x$ no se desvanece sobre el $x$ -eje menos $[(x)]$ . Así que tenemos ideales $(x-a,y)$ con $a \in \mathbb{C}^*$ . A la derecha tenemos que $Spec(\mathbb{C}[x]_x)=\{(0), (x-a)\}$ con $a \in \mathbb{C}^*$ . Así que tenemos el $x$ -eje menos el origen. Pero, ¿cómo puedo demostrar que hay un isomorfismo como anillos?

Answer 1

Cuando se invierte $x$ y matar $xy$ , matas $y$ . Por lo tanto, $k[x,y]/(xy)_x = k[x,y]/(y)_x = k[x]_x$ .