Álgebra abstracta - Subgrupo central

Question

Supongamos que $a$ pertenece a un grupo y $|a|=5$ . Demostrar que $C(a)=C(a^2)$ . Encuentre un elemento $a$ de algún grupo tal que $|a|=4$ y $C(a)$ no es igual a $C(a^2)$ .

Answer 1

Lema: $C(a) \subseteq C(a^n)$ para cualquier $a \in G$ y $n \in \Bbb N$ .

Prueba: Supongamos que $x \in C(a)$ es decir $ax=xa$ . Entonces, $a^nx = a\cdots aax = a \cdots axa = a \cdots xaa = \cdots = xa^n$ Así que $x \in C(a^n)$ .

Así que ahora la respuesta a su pregunta es que $C(a) \subseteq C(a^2) \subseteq C((a^2)^3)$ pero $(a^2)^3 = a^6 = a^1 = a$ Así que $C(a) \subseteq C(a^2) \subseteq C(a)$ Así que $C(a) = C(a^2)$ .