Suma de n-ésimas raíces de la unidad

Question

Se me pide que demuestre que
$$1 + \omega + \omega^2 + ... + \omega^{n-1} = 0$$ donde $\omega \ne 1$ es una raíz n-ésima de la unidad, y no sé por dónde empezar

Siento que hay algo terriblemente obvio que me estoy perdiendo aquí.

Answer 1

Sugerencia : multiplicar por $\omega - 1 $

Answer 2

$$x^n-1=0$$ $$(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)=0$$ Entonces, $x=1$ o $x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1=0$ .

La raíz de la segunda ecuación es lo que denotamos como $\omega$ .

Answer 3

Multiplica ambos lados por $(1-w)$ Entonces, se obtendrá una expresión $1-w^n$ que debe ser cero.