Punto de una curva donde el plano normal es paralelo a otro plano

Question

Una partícula sigue la curva $r ( t ) = ( \frac{4}{t + 1}, t^3 , t^4 + 1 )$ para el tiempo $t \ge 0$

Encuentra el punto $P ( x,y,z )$ en la curva tal que el plano normal a la curva en P es paralelo al plano: $\frac{-1}{9} x + 3 y + 8 z = 0$

No tengo ni idea de por dónde empezar, todo lo que sé es $(-1/9,3,8)$ sería una línea ortogonal al plano y el plano normal a la curva en $P$ .

La respuesta es $(4/3,8,17)$ así que supongo que de alguna manera encontraron $t=2$ y lo he introducido en r(t), pero ¿puede alguien explicarme los pasos lógicos a seguir para resolver este problema?

Answer 1

La derivada de la curva en $t$ es $v=(-4/(t+1)^2,3t^2,4t^3).$ Entonces hay que establecer un múltiplo escalar indeterminado $kv$ al vector $(-1/9,3,8)$ normal al plano. Esto da de la segunda coordenada que $3kt^2=3,$ para que sepamos $kt^2=1.$ Entonces, a partir de la tercera coordenada obtenemos $4kt^3=8,$ lo que significa utilizar $kt^2=1$ que $4kt^3=4(kt^2)t=4\cdot 1 \cdot t=8,$ así que $t=2$ es forzado. Además, como $kt^2=1$ tenemos $k \cdot 2^2=1$ y luego $k=1/4.$ Comprobando en la primera coordenada tenemos $(1/4)\cdot (-4/(9))=-1/9$ como debería ser.

Answer 2

El plano dado tiene la ecuación $u \cdot n = 0$ con el vector normal $n = (-1/9, 3, 8)$ . La curva es $r(t) = (4/(t+1),t^3, t^4+1)$ . El vector unitario tangente $T$ de la curva es $$T = \frac{dr}{ds} = \frac{\dot{r}}{\lVert \dot{r} \rVert} = \left( -\frac{1}{(t+1)^2}, 3 t^2, 4 t^3 \right) / \lVert \dot{r} \rVert$$

Como el compañero coffeemath probablemente se ha dado cuenta antes que yo, $T$ es ortogonal al plano normal y, por tanto, apunta en la misma dirección que $n$ (o su negativo), así que simplemente tomamos $\dot{r}$ (la ortogonalidad es suficiente, la normalidad no es necesaria) y encontrar cuando se convierte en un múltiplo escalar de $n$ , para $t \ge 0$ : $$\dot{r}(t) = \alpha n \wedge t \ge 0 \iff (-1/9,3,8) = \alpha \left( -\frac{1}{(t+1)^2}, 3 t^2, 4 t^3 \right) \wedge t \ge 0 \iff t = 2 \wedge \alpha = 1$$ y esto es $$r(2) = (4/3,8,17).$$ Aquí hay una visualización con vectores tangentes para $t \in \{ 0, 1, 3/2, 2 \}$ . La normal del plano está unida al origen.

Answer 3

(Toma dos vectores cualesquiera en el plano dado A y B.

Por diferenciación encontrar una tangente T a la curva.

El triple producto escalar (A X B . T) = 0, por lo que hay que encontrar $t.$