Demuestre que la derivada $\theta(t)$ es continua

Question

Estoy haciendo un problema, y necesito demostrar que la derivada de la función $\theta(t)$ es continua. $\theta(t)$ se define como sigue:

Dejemos que $f$ sea una función cuadrática, y $\theta(t)$ es el ángulo entre el segmento de línea entre $(0, 0)$ y $(t, f(t))$ y el eje x positivo.

Esta es una parte de mi solución.

$\tan\theta(t)=\frac{f(t)}{t}$ para todos $t \neq 0$ y diferenciando cada lado, obtenemos $$\theta'(t)\times\sec^2\theta(t)=\frac{tf'(t)-f(t)}{t^2}$$ Como $\sec^2\theta(t)=1+\tan^2\theta(t)$ Al insertar la ecuación original, obtenemos $$\theta'(t)=\frac{tf'(t)-f(t)}{(f(t))^2+t^2}$$

Sin embargo, este método sólo funciona para $t\neq 0$ ya que si $t=0$ entonces $\theta(0)=\frac{\pi}{2}$ así que $\tan \theta(0)$ no está definida. Necesito demostrar que esta función tiene una derivada continua, para que el problema no tenga un error inesperado. Sospecho que introduciendo $t=0$ a $\theta'(t)$ nos dará el valor de $\theta'(0)$ pero no tengo ninguna razón matemática para ello. ¿Puedo obtener alguna ayuda?

Answer 1

La definición completa de $\theta (t)$ debería ser la siguiente: $$\begin{aligned}\theta(t)&=\tan^{-1}\left(\frac {f(t)}{t}\right), tf(t)>0\\&=\pi+\tan^{-1}\left(\frac {f(t)}{t}\right), tf(t)<0\\&=\frac {\pi}{2}, t=0\end{aligned}$$ Se puede comprobar fácilmente que $\theta(t)$ es diferenciable en todo momento, ya que $\theta(t)$ es continua en $t=0$ y: $$\lim_{t\to 0^{-}}\theta'(t)=\lim_{t\to 0^{+}} \theta'(t)=-\frac {1}{f(0)}$$ Desde $\theta(t)$ es diferenciable en $t=0$ Esto significa que $$\theta'(0)=\lim_{t\to 0} \theta'(t)=-\frac {1}{f(0)}$$ Esto significa que $\theta'(t)$ es continua en $t=0$ .