teorema espectral complejo y real para matrices

Question

Estoy estudiando el teorema espectral de las matrices, y el libro dice que si un $nxn$ La matriz A es real y simétrica, entonces es diagonalizable sobre $\mathbb{R}$ . Y que este hecho es un corolario del Teorema Espectral para el caso complejo de las matrices normales.

Aunque estoy de acuerdo en que desde $A$ es simétrico entonces $A$ es normal por lo que implica que $A$ es diagonalizable sobre $\mathbb{C}$ y además es fácil demostrar que todos los vectores propios son reales. Pero, ¿cómo puedo ver que todos los vectores propios son también reales?

Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que $v$ es un vector propio complejo de $A$ una matriz simétrica real, con su correspondiente valor propio real $\lambda$ . Tenga en cuenta que \begin{align} \lambda \overline{v}=\overline{\lambda v} = \overline{Av}= A\overline{v} \end{align} entonces $\overline{v}$ también es un vector propio. Por lo tanto, $v+\overline{v}$ es un vector propio real. Así que elige este.

Answer 2

Es sobre todo un añadido a la respuesta de Jacky Chong. Aunque dejó un comentario sobre por qué los vectores propios reales construidos tomando $v + \bar v$ son ortgogonales, realmente no veo cómo ayuda tomar el componente real. Quiero decir que es fácil encontrar vectores complejos ortogonales de manera que sus componentes reales no sean ortogonales: $(1, i)$ y $(1, -i)$ por ejemplo. Tal vez estoy perdiendo su punto. Así que aquí está mi prueba. Dejemos que $v$ y $w$ sean vectores propios con $\lambda$ y $\mu$ como valores propios correspondientes (aquí $\lambda \neq \mu$ ) Entonces $$ \lambda \langle v, w \rangle = \langle \lambda v, w \rangle = \langle Av, w\rangle = \langle v, A^T w \rangle = \langle v, Aw \rangle = \langle v, \mu w \rangle = \mu \langle v, w \rangle $$ Si $\langle v, w \rangle \neq 0$ , entonces podemos dividir por ella y obtener $\lambda = \mu$ por lo que debe ser cero.

Answer 3

Me temo que no podremos conseguir la diagonalizabilidad de las matrices simétricas reales (con matrices reales) de el teorema del espectro complejo . La razón es simplemente que aunque dos $\mathbb C^n$ vectores $u,v$ son ortogonales respecto al producto interior complejo, sus partes reales $Re(u)$ y $Re(v)$ puede no ser ortogonal con respecto al producto interior real. Un ejemplo será el proporcionado por @Павло Сурженко dejando que $u=(1,i)$ y $v=(1,-i).$ Nótese que en este ejemplo, incluso tenemos que $Im(u)\not\perp Im(R)$ con respecto al producto interno real.

Así que básicamente hay NO manera de conseguir la diagonalizabilidad de las matrices simétricas reales de el teorema del espectro complejo si se requiere que las matrices que se utilizan para diagonalizar las matrices simétricas reales sean reales .

Sin embargo, puede probar la diagonalizabilidad de las matrices simétricas reales directamente y la prueba es básicamente la misma con la prueba de la diagonalizabilidad de las matrices complejas hermitianas (que son la generalización compleja de las matrices simétricas reales).

La razón por la que podemos probar la diagonalizabilidad de las matrices simétricas reales directamente es que podemos al principio elegir vectores propios reales. No podemos hacer lo contrario, es decir, elegir primero los vectores propios complejos y después ponerlos todos reales tras demostrar el teorema del espectro.

Answer 4

Porque si $\lambda$ es un valor propio de $A$ y $\lambda\in\mathbb R$ entonces $A$ tiene un vector propio en $\mathbb{R}^n$ cuyo valor propio correspondiente es $\lambda$ . De hecho, al afirmar que $A$ tiene un vector propio real correspondiente a $\lambda$ equivale a afirmar que $\lambda$ es una raíz real del polinomio característico de $A$ .