Integrales difíciles con el polinomio de Legendre

Question

¿Alguien sabe cómo integrar $\int_0^\pi P_n(\cos(x))\sin(x)\cos(x) dx$ , $\int_0^\pi P_n(\cos(x))\sin^2(x) dx$ , donde $P_n$ es el n-ésimo polinomio de Legendre? En realidad son extremadamente difíciles de hacer, por lo que veo, pero los necesito bastante.

Answer 1

Reescribe la integral como

$$-\int_0^{\pi} d(\cos{x}) \, P_n(\cos{x}) \cos{x} = \int_{-1}^1 dy \, y \, P_n(y)$$

Por ortogonalidad, la integral de la derecha es cero a menos que $n=1$ . Por lo tanto,

$$\int_0^{\pi} dx \, P_n(\cos{x})\, \cos{x}\, \sin{x} = \begin{cases}\frac{2}{3} & n=1 \\ 0 & n \ne 1 \end{cases}$$

Answer 2

Una pista: $P_1(\cos x)=\cos x$ . La primera integral es

$$-\int_0^\pi P_n(\cos x)P_1(\cos x) d\cos x=\int_{-1}^1 P_n(y)P_1(y)dy=... $$

Todo lo que necesitas es utilizar la propiedad de ortogonalidad de los polinomios de Legendre.