¿Cuántos puntos hay en un segmento de recta?

Question

Mi profesor dijo que en la circunferencia del círculo hay infinitos puntos. Cuando estaba aprendiendo más sobre el círculo, llegué a esta imagen:

Mi pregunta es: Cuando desenrollamos el círculo, entonces la longitud del círculo y del segmento de línea son iguales. Por esta razón, creo que el segmento de línea desenrollado también debería tener infinitos puntos. Pero sólo hay dos puntos finales. ¿Puede alguien explicarme en qué me estoy equivocando?

Answer 1

Usted está confundiendo puntos finales y puntos.

• La circunferencia de un círculo no tiene ningún punto final, sino infinitos puntos.
• El segmento de línea tiene dos puntos finales y todavía infinitos puntos.

Nota: La longitud del segmento no es tan importante como se cree. No podemos distinguir el número de puntos de un segmento de recta de longitud $π$ de los de un segmento de línea de longitud $2π$ .

Answer 2

Tanto la circunferencia como el segmento tienen infinitos puntos, pero esa no es la cuestión ( je, je ).

Lo que importa es su longitud . La imagen presumiblemente trata de mostrar la relación entre el diámetro y la circunferencia, que resulta ser $\pi$ o 3 y luego algo.

Answer 3

Hay más de dos puntos en un segmento de línea. De hecho, hay infinitamente muchos puntos del segmento de línea. Por ejemplo, hay un punto entre los dos puntos extremos que también está en la línea.

Y un punto entre el punto medio y el inicio.

Y uno entre la mitad y el final.

Y uno a una distancia de $\frac{\pi^2}{4}$ desde el principio, y sigue y sigue...

Answer 4

En el caso del círculo, se toma un polígono y se dice que se aproxima a un círculo, pero no es preciso. A medida que aumenta el número de puntos del polígono, éste se aproxima cada vez más a un círculo, pero nunca lo alcanza del todo. Se dice que cuando el límite de puntos del polígono se aproxima al infinito, se tiene un círculo, por lo que una interpretación de un círculo es un polígono de infinitos puntos.

En el segundo caso, una línea puede tener infinitos puntos entre sus extremos, pero no es una característica definitoria del punto. En otras palabras, no se vuelve más "línea" con el aumento de puntos en la misma línea. Sin embargo, tu suposición no es errónea. Usted podría Piensa que la línea que sale de un círculo tiene infinitos puntos. La mayoría de la gente tiende a preferir definir una línea en términos de sus puntos iniciales y finales.

Answer 5

¡Otra Discusión sin sentido! :-) Sobre una cuestión tangencial... Todo es relativo a la escala que se examina. Pero los puntos son adimensionales. Así que discrepo de la idea precisa de que una tangente puede ser determinada por dos puntos que están muy cerca. "Leibniz la definió como la línea que pasa por un par de puntos infinitamente cercanos de la curva". Wikipedia. El problema es que, por muy cerca que estén dos puntos, hay un número infinito de puntos entre dos puntos inifnitamente cercanos. Una definición mejor es pensar en términos de tuplas. Una curva consiste en un conjunto infinito de tuplas. Para cada tupla en esa línea curva, sólo una tupla a la vez puede ser concurrente con una tupla en una línea recta de intersección. Cuando esa línea recta interseca precisamente esa tupla de un punto de la línea curva, entonces la línea recta es una tangente. Ahora bien, en la práctica (por lo que se inventó la diferenciación y la integración), tenía que haber una forma de llamar "lo suficientemente cerca" y converger a una respuesta. Eso funciona cuando las medidas necesarias para encontrar esa tupla precisa, están por debajo del nivel de precisión posible para la escala con la que se trabaja.

Por lo tanto, es importante que los puntos sean adimensionales e infinitos en todas las aplicaciones matemáticas. Pero para ser prácticos, y dar sentido a un problema, los puntos tienen que definirse de una manera que sea útil para la escala en la que existe el problema. Por ejemplo, si te acercas lo suficiente a un círculo, geométricamente, el segmento que estás examinando parecerá una línea recta, porque el resto de la curva cae por debajo de la mensurabilidad. Prácticamente, se convierte en una línea recta. Matemáticamente, el conjunto infinito de tuplas que representa la línea curva, sigue siendo curva.