Utilizar la transformada de Fourier para calcular las series de Fourier.

Question

He encontrado un ejercicio en un libro de procesamiento de señales que pide calcular la serie de Fourier de una función utilizando su Transformada de Fourier déjalo:

$$ x(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \Lambda \left( \dfrac{t-nT}{T/2} \right) $$

He calculado el FT de esta función, he utilizado que un trianglePulse se puede descomponer en dos rectangularPulse convolutos. Me llevó a:

$$ x(t) = \Pi \left( \dfrac{t}{T/2} \right) \star \Pi \left( \dfrac{t}{T/2} \right) \star \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t-nT) $$

Así, la transformada de Fourier es:

$$X(\omega)= \dfrac{4}{\omega^2} sin^2 \left( \dfrac{\omega T}{4} \right)\cdot \dfrac{2\pi}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega - n\dfrac{2\pi}{T} \right) $$

Dónde: $$FT\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta (t-nT) \right] = \sum_{n=-\infty}^{\infty} e^{-jnT\omega} = \dfrac{2\pi}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega - n\dfrac{2\pi}{T} \right)$$

Sé que el FT es una generalización de la serie de Fourier. Pero no sé cómo continuar para encontrar la serie de Fourier. ¿Qué debo hacer para resolver el ejercicio? (Sólo necesito saber cómo continuar, no es necesario que lo haga por mí).

Answer 1

Si tiene un $T$ -función periódica $x(t)$ su serie de Fourier viene dada por

$$x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}c_ke^{j2\pi kt/T}\tag{1}$$

donde $c_k$ son los coeficientes complejos de Fourier. Tomando la transformada de Fourier de (1) se obtiene

$$X(j\omega)=2\pi \sum_{k=-\infty}^{\infty}c_k\delta\left(\omega-\frac{2\pi k}{T}\right)\tag{2}$$

Así, dada la transformada de Fourier (2), se pueden leer directamente los coeficientes de Fourier $c_k$ .

Answer 2

Una vez obtenida la Transformada de Fourier:

\begin{equation} \mathcal{F} \big\{ x(t)\big\} = X(\omega) = \dfrac{4}{\omega^2} \sin^2 \left( \dfrac{\omega T}{4} \right)\cdot \dfrac{2\pi}{T} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta \left( \omega - n\dfrac{2\pi}{T} \right) \end{equation}

Puede tener en cuenta que para cualquier función $b(\omega)$ y un cierto retardo de los impulsos $\omega_0$ que tienes:

\begin{equation} b(\omega) · \delta(\omega-\omega_0) = b(\omega_0)\delta(\omega-\omega_0) \tag{1} \end{equation}

Sustituyendo $\omega_n = n\dfrac{2\pi}{T}$ podemos reescribir su transformada de Fourier como sigue:

\begin{equation} X(\omega) = \dfrac{4}{\omega^2} \sin^2 \left( \dfrac{\omega T}{4} \right)\cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty} \dfrac{\omega_n}{n} · \delta \left( \omega - \omega_n \right) \end{equation}

Considerando ahora (1):

\begin{equation} X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \dfrac{4}{\omega_n^2} ·\sin^2\Big(\dfrac{\omega_nT}{4}\Big)·\dfrac{\omega_n}{n}·\delta \left( \omega - \omega_n \right) \end{equation}

Trabajando en ello finalmente obtenemos:

\begin{equation} X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \dfrac{2T}{n^2\pi} ·\sin^2\Big(\dfrac{n\pi}{2}\Big)·\delta \left( \omega - n\dfrac{2\pi}{T} \right) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} \alpha_n·\delta \left( \omega - n\dfrac{2\pi}{T} \right) \end{equation}

Dónde $\alpha_n = \dfrac{2T}{n^2\pi} ·\sin^2\Big(\dfrac{n\pi}{2}\Big)$ denota la amplitud de cada muestra $n$ .