cuantificar la cuenca de atracción para $g(x) = 2.5x(1-x)$

Question

Estoy tratando de estsblecer algebraicamente que el mapa logístico $$ g(x) = 2.5x(1-x) $$ tiene una cuenca de atracción --- para el punto fijo en $x = \frac{3}{5}$ --- de $0 < x < 1$ . He comprobado el resultado con los gráficos.

La forma habitual de hacerlo es encontrar los valores de $x$ para que $$ \frac{|f(x) - p|}{|x-p|} < 1 $$ es verdadera para un punto fijo en $x = p$ . Establecemos la desigualdad: $$ \frac{|2.5x(1-x) - 0.6|}{|x-0.6|} < 1 $$ Se puede demostrar que esto se reduce a $$ \frac{2.5|x-0.6||x-0.4|}{|x-0.6|} < 1 $$ para que $$ 2.5|x-0.4| < 1 $$ Esta desigualdad se resuelve con $x > 0$ y $x < 0.8$ . La primera solución está bien, pero la segunda no tiene sentido. ¿Cómo es que no obtenemos la condición correcta de $x < 1$ del álgebra? Por ejemplo, el libro de texto muestra que este método funciona para el mapa logístico de $$ g(x) = 2x(1-x) $$ para el fregadero situado en $x = 0.5$ .

Answer 1

El criterio que está utilizando $(\left|f(x) - p \right | < \left|x-p\right|)$ significa que $x$ está más cerca de $p$ . Esto no es una condición suficiente ni necesaria para que un punto esté en la cuenca de atracción.

Desde $x$ puede alejarse del punto fijo temporalmente, la condición no es suficiente. Esto es lo que ha observado para $0.8<x<1$ . Por ejemplo, para $x=0.9$ tenemos $\left|f(x)-p \right| = 0.375 > 0.3 = \left|x-p\right|$ . Sin embargo, si $(0,0.8)$ es efectivamente parte de la cuenca de atracción (ver más abajo), entonces todo lo que se mapea en ella, es también parte de ella.

Para ver que esto no es ni siquiera una condición suficiente, mira el mapa:

$$h(x) = \begin{cases} 2.5·x·(1-x) & \text{if } x≤1 \\ 1+\tfrac{1}{2} (x-1) & \text{otherwise} \end{cases} $$

Esto se comporta como su mapa para $x≤1$ pero si $x>1$ el mapa sólo reduce a la mitad su distancia a $1$ . En consecuencia, el mapa también acerca los puntos a $p$ y su condición se cumple. Sin embargo, es evidente que estos puntos no están en $p$ de la cuenca de atracción.

Para un continuo $f$ puede convertir su condición en suficiente si además se asegura de que $\left|x-p\right|$ no tiene un punto fijo que no sea $p$ es decir, no hay $x≠p$ tal que $\left|f(x)-p\right| = \left|x-p\right|$ . Esto debería ser fácil en su caso.

Por lo tanto, para demostrar que $(0,1)$ es la cuenca de atracción $B$ podría proceder de la siguiente manera:

1. Utilice la condición suficiente para demostrar que $(0,0.8) ⊂ B$ .
2. Demuestre que cada punto de $[0.8,1)$ se asigna a un punto en $(0,0.8)$ y por lo tanto $[0.8,1) ⊂ B$ .
3. Demostrar que todo punto no positivo es mapeado a un punto no positivo y por lo tanto $(−∞,0] ∩ B = ∅$ .
4. Demuestre que cada $x≥1$ se mapea a un punto no positivo y por lo tanto $[1,∞) ∩ B = ∅$ .