Considere la $C^*$ -Álgebra $C([a,b])$ de funciones complejas continuas en un intervalo cerrado de $\mathbb{R}$ . Quiero construir una base local anidada contable en el espacio de estados del álgebra con respecto al $weak*$ -topología. Tal base existe ya que el álgebra es separable. ¿Cómo podemos construirla explícitamente?
Respuesta
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Teorema . Dejemos que $X$ sea un espacio normado.
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Si la dimensión algebraica de $X$ es incontable entonces el origen del espacio dual $X'$ no admite una base de vecindad contable base de vecindad relativa al débil $^*$ topología.
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Si $X$ es separable entonces todo subconjunto acotado de $X'$ es metrizable en relación con el débil $^*$ topología.
Prueba . (1) Supongamos por contradicción que $\{V_n\}_n$ es una base de vecindad contable del origen. Por definición de el débil $^*$ topología, para cada $n$ existe un conjunto finito $F_n\subseteq X$ y un número positivo $\varepsilon _n$ , tal que el conjunto $$ U(F_n, \varepsilon _n):= \{f\in X': |f(x)|<\varepsilon _n, \forall x\in F_n\} $$ está contenida en $V_n$ .
Por hipótesis tenemos que $$ \text{span}\left(\bigcup_nF_n\right) \subsetneq X, $$ por lo que podemos elegir algún vector $y$ en $X$ que no se encuentra en el tramo lineal de $\bigcup_nF_n$ . Observando que $U(\{y\},1)$ es una vecindad del origen en $X'$ llegaremos a una contradicción demostrando que $$ V_n\not\subseteq U(G,1), $$ para cualquier $n$ . De hecho, desde $y\notin \text{span}(F_n)$ podemos utilizar Hahn-Banach para producir un funcional lineal continuo lineal continua $f$ en $X$ desapareciendo en $F_n$ y tal que $f(y)=1$ . Entonces se deduce que cualquier múltiplo de $f$ se encuentra en $U(F_n, \varepsilon _n)$ y, por tanto, también en $V_n$ pero $\lambda f$ no está en $U(G,1)$ si $|\lambda |\geq 1$ .
(2) Suponiendo que $X$ es separable, elija un subconjunto denso $\{x_n\}_n$ de la bola unitaria de $X$ . Dado cualquier $f$ y $g$ en $X'$ , defina $$ d(f,g) = \sum_n 2^{-n}\min\{1, |f(x_n)-g(x_n)|\}. $$ Es fácil ver que $d$ es una métrica en $X'$ y además que una red $\{f_i\}_i$ converge a algún $f$ según esta métrica si $$ f_i(x_n)\ {\buildrel i\to\infty \over \longrightarrow}\ f(x_n),\quad\forall n. \tag 1 $$
Por otro lado, es bien sabido que un limitado red $\{f_i\}_i$ converge a $f$ en los débiles $^*$ topología si (1) se mantiene.
Así que si $S$ es un subconjunto acotado de $X'$ las redes dentro de $S$ convergen débilmente $^*$ si convergen según $d$ , demostrando así que el débil $^*$ topología en $S$ es metrizable por $d$ . QED
Es bien sabido que la dimensión algebraica de cualquier espacio de Banach de dimensión infinita es incontable, por lo que el Teorema anterior se aplica a $C([0, 1])$ y por lo tanto el origen en $C([0, 1])'$ no admite una base de vecindad contable relativa con respecto al débil $^*$ topología.
Por otro lado, el espacio de estados de $C([0, 1])$ es un conjunto acotado, por lo que se aplica la parte (2) del Teorema anterior.
