Encontrar el área máxima de un rectángulo en una elipse

Question

Pregunta: Un rectángulo y una elipse están centrados en $(0,0)$ . Los vértices del rectángulo coinciden con los de la elipse, como se muestra

Demostrar que el área máxima posible del rectángulo se produce cuando la coordenada x del punto $P$ es $x = \frac{a}{\sqrt{2}} $

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Lo que he hecho

Sea la ecuación de la elipse

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

Resolviendo para y

$$ y = \sqrt{ b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2}} $$

Sea el área de un rectángulo $4xy$

$$ A = 4xy $$

$$ A = 4x(\sqrt{ b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2}}) $$

$$ A'(x) = 4(\sqrt{ b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2}}) + 4x\left( (b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2})^{\frac{-1}{2}} \times \frac{-2b^2x}{a^2} \right) $$

$$ A'(x) = 4\sqrt{ b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2}} + \frac{-8x^2b^2}{\sqrt{ b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2}}a^2} = 0 $$

$$ 4a^2\left(b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2} \right) - 8x^2b^2 = 0 , \sqrt{ b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2}a^2} \neq 0 $$

$$ 4a^2\left(b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2} \right) - 8x^2b^2 = 0 $$

$$ 4a^2b^2 - 4b^2x^2 - 8x^2b^2 = 0 $$

$$ 4a^2b^2 - 12x^2b^2 = 0 $$

$$ 12x^2b^2 = 4a^2b^2 $$

$$ x^2 = \frac{a^2}{3} $$

$$ x = \frac{a}{\sqrt{3}} , x>0 $$

¿En qué me he equivocado?

edit:La pregunta duplicada es la misma pero ambos posts tienen diferentes enfoques sobre cómo resolverla por lo que no creo que deba marcarse como duplicada..

Answer 1

Es más fácil resolver esta cuestión utilizando puntos paramétricos.

Sea un vértice del rectángulo $(a\cos\theta,b\sin\theta)$ .

Los otros vértices son $(a\cos\theta,-b\sin\theta)$ , $(-a\cos\theta,b\sin\theta)$ , $(-a\cos\theta,-b\sin\theta)$

El área del rectángulo formado es $$A(\theta)=4ab\cos\theta\sin\theta=2ab\sin2\theta$$

La superficie máxima es $2ab$ y se produce cuando $\theta=\frac{\pi}{4}$ (o cuando $\sin2\theta$ es máxima).

Cuando $\theta=\frac{\pi}{4}$ , $x$ -coordinar $=a\cos\frac{\pi}{4}=\frac{a}{\sqrt{2}}$

Answer 2

Su error está aquí $$ A'(x) = 4(\sqrt{ b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2}}) +\color{red}{\frac12} \times4x\left( (b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2})^{\frac{-1}{2}} \times \frac{-2b^2x}{a^2} \right). $$

Answer 3

Sea la ecuación de la elipse

$$ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

Resolviendo para y

$$ y = \sqrt{ b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2}} $$

Sea el área de un rectángulo $4xy$

$$ A = 4xy $$

$$ A = 4x(\sqrt{ b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2}}) $$

$$ A'(x) = 4(\sqrt{ b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2}}) + 4x\left( (b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2})^{\frac{-1}{2}} \times \frac{-b^2x}{a^2} \right) $$

$$ A'(x) = 4\sqrt{ b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2}} + \frac{-4x^2b^2}{\sqrt{ b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2}}a^2} = 0 $$

$$ 4a^2\left(b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2} \right) - 4x^2b^2 = 0 , \sqrt{ b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2}a^2} \neq 0 $$

$$ 4a^2\left(b^2 - \frac{b^2x^2}{a^2} \right) - 4x^2b^2 = 0 $$

$$ 4a^2b^2 - 4b^2x^2 - 4x^2b^2 = 0 $$

$$ 4a^2b^2 - 8x^2b^2 = 0 $$

$$ 8x^2b^2 = 4a^2b^2 $$

$$ x^2 = \frac{a^2}{2} $$

$$ x = \frac{a}{\sqrt{2}} , x>0 $$

El error está en el tercer paso al diferenciar.

diferenciando $\sqrt x$ le dará $\frac{1}{2\sqrt x}$

Answer 4

La elipse $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ es un círculo de radio $a$ en $(\hat x,y)$ coordenadas, donde $\hat x=\dfrac{a}{b}x$ . Esta transformación multiplica las áreas por la constante $\dfrac{a}{b}$ por lo que el problema es equivalente a encontrar el rectángulo de máxima área en un círculo, que se sabe que es un cuadrado.

O, visto de otra manera (juego de palabras), esta elipse es lo que se ve si se mira el círculo de radio $a$ en el $x-y$ plano desde el ángulo correcto en lugar de hacerlo directamente desde arriba. Cuando veas lo que parece ser un rectángulo inscrito en la elipse de área máxima, lo que estás viendo es un rectángulo inscrito en el círculo de área máxima.