Encontrar el mayor orden posible de un elemento en $\mathbb Z_{6} \times \mathbb Z_{10}$

Question

Encontrar un elemento de $\mathbb Z_{6}\times\mathbb Z_{10}$ con el mayor orden posible.

El mayor orden posible es lcm $(6,10) = 30$ ¿correcto? ¿Cómo puedo encontrar un elemento con este orden? No estoy seguro de cómo continuar. Gracias por la ayuda.

Answer 1

Reall que para el producto directo $G \times H$ de grupos que tenemos para $g\in G$ , $h \in H$ que $\def\ord{\mathop{\rm ord}}$ $$ \ord (g,h) = \mathrm{lcm}(\ord g, \ord h) $$ por lo que se toma un elemento de orden $6$ de $\mathbb Z_6$ , digamos que $1 + 6\mathbb Z$ y un elemento de orden $10$ de $\mathbb Z_{10}$ , digamos que $1 + 10\mathbb Z$ da un elemento $$ (1 + 6 \mathbb Z, 1 + 10 \mathbb Z) \in \mathbb Z_6 \times \mathbb Z_{10} $$ de la orden 30.