Distribución de valores propios límite de $(I-A)^T(I-A)$

Question

Dejemos que $A\in\mathbb R^{n\times n}$ sea una matriz gaussiana aleatoria con entradas i.i.d de $\mathcal N (0, \frac{a}{\sqrt{n}})$ . Por Marchenko-Pastur conocemos la distribución límite del valor propio de $A^TA$ . Ahora quiero entender el comportamiento de los valores propios de $(I-A)^{T}(I-A)$ . Según algunas simulaciones, si $a$ es grande, entonces la distribución converge a la ley del cuarto de círculo (lo cual es intuitivo ya que el efecto de $I$ se encoge), y un pequeño $a$ conduce a un semicírculo deformado. ¿Existe una representación analítica de esta distribución? Gracias.

Answer 1

Sé que la distribución de valores propios límite satisface un principio variacional (véase, por ejemplo, el trabajo conjunto con A. Kuijlaars Grandes desviaciones para una matriz Wishart no centrada ) a partir de la cual se puede derivar una ecuación algebraica de grado tres para la transformada de Sieltjes, y eventualmente recuperar una fórmula analítica para la densidad límite utilizando la fórmula de inversión de Cauchy-Plemelj.

De forma más general, la distribución límite puede expresarse como la convolución libre rectangular (introducida por Benaych-Georges en Matrices aleatorias rectangulares, convolución relacionada ) de la distribución de Marchenko-Pastur y una masa de Dirac; a continuación se puede recuperar esta ecuación algebraica utilizando la transformada R rectangular asociada.

Espero que esto te ayude y que puedas resolver los detalles por ti mismo. Por lo demás, yo partiría de la prueba original de Marchenko-Pastur y la adaptaría para calcular la asintótica de la transformada de Stieljes de tu modelo matricial, lo que eventualmente llevaría también, tras tediosos cálculos, a la misma ecuación algebraica de grado tres.