¿Cuándo coincide la cohomología continua de Galois(=etale) de los campos con la ingenua? ¿Suele ser cierto por la conjetura de Bloch-Kato?

Question

Para un campo $F$ Me interesa su $l$ -ádica (Galois='etale) cohomología; aquí $l$ es un primo distinto de la característica de $F$ (para simplificar se puede suponer que este último es $0$ ).

Para $i,j\in \mathbb{Z}$ se puede definir el correspondiente grupo de cohomología "ingenuo" como $\varprojlim_n H^i(F, \mathbb{Z}/ l^n\mathbb{Z}(j))$ . Esta no es una definición muy "buena"; los grupos de cohomología "correctos" de $F$ son las continuas (definidas por Jannsen) que tienen en cuenta el (primer) límite proyectivo derivado (functor) para el sistema $H^i(F, \mathbb{Z}/ l^n\mathbb{Z}(j))$ . Mi pregunta es: ¿cuándo $\varprojlim{}^1$ -¿se desvanece necesariamente el grupo o (al menos) la torsión? Parece que la conjetura de Bloch-Kato se cumple: los mapas de transición son suryectos (y por tanto, $\varprojlim{}^1$ desaparece) si $j=i$ . ¿Es esto correcto? ¿Existen resultados generales de este tipo para $j\neq i$ (y si $K$ no contiene todos los $\mu_{l^n}$ )? Por ejemplo, ¿qué se sabe de $j=1$ , $i=2$ (este caso está estrechamente relacionado con el grupo Brauer)?

Answer 1

Aquí hay dos preguntas: ¿cuándo el $\varprojlim\nolimits^1$ de una secuencia de grupos abelianos $M_1 \longleftarrow M_2\longleftarrow M_3\dotsb$ desaparecen, y qué se puede decir de la cohomología de Galois con coeficientes ciclotómicos.

En cuanto a la primera pregunta: se llama condición de Mittag-Leffler, y recuerdo que se formuló así. El $\varprojlim\nolimits^1$ desaparece si, y quizás también sólo si, para cada $i>0$ la secuencia decreciente de subgrupos $\operatorname{im}(M_i\leftarrow M_j)$ finalmente se estabiliza en $M_i$ como $j$ crece hasta el infinito.

En cuanto a la segunda pregunta: ciertamente, de la conjetura Milnor-Bloch-Kato se deduce que $\varprojlim_n{}^1 H^i(F,\mathbb Z/l^n\mathbb Z(j))=0$ cuando $i=j$ porque se trata de una secuencia de mapas suryentes de grupos abelianos. Para $i\ne j$ , este $\varprojlim\nolimits^1$ desvanecimiento no debería ser cierto en general.