Generación de un grupo finito a partir de elementos de cada clase de conjugación

Question

¿Existe un grupo finito tal que, si eliges un elemento de cada clase de conjugación, estos no necesariamente generan todo el grupo?

Answer 1

Es imposible. Como mencioné en el comentario a la respuesta de Richard Stanley, está buscando un grupo finito $G$ con un subgrupo máximo $M$ tal que $M$ intersecta cada clase de conjugación. Entonces $G=\cup M^g$ es la unión de $M$ y sus conjugados, lo cual es bien sabido que nunca sucede.

Steve