¿Estructura de Kähler en el haz cotangente?

Question

El espacio total del haz de cotangentes de cualquier colector M es un colector simpléctico.

¿Es cierto que para cualquier M, $T^*M$ tiene estructura de Kähler?

Por favor, apoye su afirmación con una referencia o un contraejemplo.

Answer 1

¡Esto es cierto! Supongo que $M$ compacto.

Método 1. Geometría algebraica real. Cf. este artículo . Mediante una versión del teorema de incrustación de Nash-Tognoli, se puede realizar $M$ como una variedad algebraica afín real $V_\mathbb{R}$ , recortado por polinomios $f_i \in \mathbb{R}[x_1,\dots,x_N]$ . La variedad compleja $V_\mathbb{C}$ será entonces suave en una pequeña vecindad $U$ de $V_\mathbb{R}$ por lo que Kaehler en esa región, con $V_{\mathbb{R}}$ como un submanifold lagrangiano. Pero $U$ es difeomorfo a $T^\ast M$ . La estructura simpléctica resultante en $T^\ast M$ puede ser no estándar; a través del teorema de vecindad del Lagrangiano, puedes tomar la forma simpléctica como la canónica si te conformas con una estructura de Kaehler sólo cerca de la sección cero.

Método 2. Teorema de existencia de Eliashberg para estructuras de Stein. Véase el libro inacabado de Cieliebak-Eliashberg, Geometría simpléctica de las variedades de Stein Teorema 9.5. Observamos que $T^\ast M$ tiene una estructura casi compleja $J$ (una compatible con la forma 2 canónica, por ejemplo) y una función de Morse propia y acotada $\phi$ cuyos puntos críticos tienen como máximo el índice medio (es decir, la norma-cuadrado más un pequeño múltiplo de una función de Morse sacada de $M$ ). En esta situación, Eliashberg, a través de una sorprendente cadena de deformaciones, encuentra una estructura compleja integrable $I$ homotópico a $J$ tal que $dd^c \phi$ es no degenerado. Esto hace que $T^\ast M$ ¡Stein! Su teorema sólo se aplica en las dimensiones $\geq 6$ (este papel de Gompf explica lo que hay que comprobar en la dimensión 4), así que sin hacer esas comprobaciones ni apelar a otros métodos, el caso de $M$ una superficie queda fuera.

Creo que la versión más precisa del teorema de Eliashberg, que puede no estar todavía en el libro, nos diría que la estructura de Stein es homotópica a una estructura de Weinstein fácil de escribir sobre $T^\ast M$ implicando su estructura simpléctica canónica $\omega_{can}$ por lo que $dd^c\phi$ es simplectomorfo a $\omega_{can}$ .

Answer 2

MR1131444 (93e:32018) Guillemin, Victor(1-MIT); Stenzel, Matthew(1-MIT) Los tubos de Grauert y la ecuación homogénea de Monge-Ampère. J. Differential Geom. 34 (1991), no. 2, 561-570. 32F07 (32E10)

Answer 3

En un documento de Goldman, Kapovich y Leeb Se señala que un grupo fucsiano (de superficie) incrustado en las isometrías del espacio hiperbólico complejo tiene como cociente el haz tangente a la superficie. Dado que los haces tangentes y cotangentes son difeomorfos (por ejemplo, pueden identificarse mediante una métrica de Riemann), el haz cotangente admitirá una estructura de Kahler. Sin embargo, no estoy seguro de que esto sea compatible con la forma simpléctica natural en el haz cotangente (que supongo que se requiere implícitamente en tu pregunta).

Hay restricciones en los grupos fundamentales de las variedades de Kahler cerradas, pero no conozco restricciones en las variedades de Kahler abiertas (sin embargo, estoy lejos de ser un experto).

Answer 4

Creo que es falso, en general. He oído en una charla que $T*M$ de las variedades riemannianas con curvatura no constante son ejemplos "estándar" de variedades estrictamente casi Kahler. Una rápida búsqueda en Google me lleva a arxiv.org/pdf/math/0308227, cuyo teorema 3 parece dar una respuesta.

Answer 5

El haz tangente $TM$ de una variedad riemanniana M tiene una estructura natural de Kähler con la forma de Kähler que coincide con la forma simpléctica canónica de $TM$ procedente del haz cotangente.

Para ver esto, elige las coordenadas locales $\mathbf{x}=(x_1,\ldots,x_n)$ en M y que la métrica esté dada por una matriz definida positiva A $$g = d\mathbf{x}^TAd\mathbf{x}$$ Introducir coordenadas complejas $\mathbf{z}=\mathbf{x}+i\ d{\mathbf{x}}$ y elevar la métrica a una métrica hermitiana $h$ en $TM$ $$h = d\mathbf{z}^*Ad\mathbf{z} = (d\mathbf{x}-i\ d^2\mathbf{x})^T\ A\ (d\mathbf{x}+i\ d^2\mathbf{x}) $$ (Aquí $d^2\mathbf{x}=(d^2x_1,\ldots,d^2x_n)$ son coordenadas en el espacio tangente de segundo orden).

La forma de Kähler es $$ \Omega = -\text{Im}\ h(d\mathbf{z}_1, d\mathbf{z}_2) = d^2\mathbf{x}_1^T\ A\ d\mathbf{x}_2 - d\mathbf{x}_1^T\ A\ d^2\mathbf{x}_2 $$

y como los momentos (coordenadas cotangentes) son $\mathbf{p}=d\mathbf{x}^TA$ la forma de Kähler se convierte en $$ \Omega = d\mathbf{p}_1\ d\mathbf{x}_2 - d\mathbf{p}_2\ d\mathbf{x}_1$$ que es la forma simpléctica canónica de $T^*M$ .