¿Estructura de Kähler en el haz cotangente?

Question

El espacio total del haz de cotangentes de cualquier colector M es un colector simpléctico.

¿Es cierto que para cualquier M, $T^*M$ tiene estructura de Kähler?

Por favor, apoye su afirmación con una referencia o un contraejemplo.

Answer 1

En la referencia mencionada por Zemisch, Guillemin y Stenzel demuestran:

Teorema. Para una variedad analítica L y una métrica analítica g sobre L existe una $\sigma$ -vecindad invariante ( $\sigma(x,v)=(x,-v)$ ) de $L\subset T^*L$ con una estructura compleja única en eso tal que

i- $\sigma$ es una involución antiholomórfica

ii- La forma única $Im \bar\partial h$ , donde $h=|v|^2$ es el cuadrado de la longitud de $v$ con respecto a $g$ es la forma única estándar $\sum y_i dx^i$ . (Esto implicaría $\sqrt{-1}\partial \bar\partial h$ es la forma estándar de Kahler).

Se trata de un resultado impresionante.

Answer 2

Falsos. Se necesita una métrica de Riemann en $T^*M$ para construir una estructura de Kähler. Pero $T^*M$ no viene con una métrica natural. (Ya que eso implicaría que la propia M tendría una métrica intrínseca).