Necesito ayuda para calcular la integral $\int\frac{dx}{(x^2+4)^2}$

Question

Necesito ayuda para calcular la integral

$\int\frac{dx}{(x^2+4)^2}$

He intentado la integración por partes, pero no he podido llegar a una respuesta.

Answer 1

Intenta dejar que $x=2\tan t$ . Entonces $x^2+4=4(1+\tan^2 t)=4\sec^2 t$ , $dx=2\sec^2 tdt$ .

Answer 2

Como alternativa, observe que

$$\int \frac{dx}{(x^2+a^2)^2} = -\frac{1}{2 a} \frac{\partial}{\partial a} \int \frac{dx}{x^2+a^2} = -\frac{1}{2 a} \frac{\partial}{\partial a} \frac{\arctan{(x/a)}}{a}$$

Realizar la diferenciación y sustituir $a=2$ ; me sale

$$\frac18 \frac{x}{x^2+4} + \frac{1}{16} \arctan{\frac{x}{2}}+C$$