¿Cómo puedo simplificar mi $\Delta f$ ?

Question

Dado $f: \mathbb{R}^n \backslash \{0\} \rightarrow \mathbb{R}$ una función dos veces diferenciable y rotacionalmente simétrica, es decir $\exists \varphi: \mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}$ con $f(x) = \varphi(\|x\|)$ , donde $\|.\|$ es la norma euclidiana. Quiero expresar $\Delta f$ en términos de derivados de $\varphi$ .

Primero miré las derivadas parciales de $f$ :

$$\partial_i f = \frac{x_i}{\|x\|} \cdot \varphi ' (\|x\|)$$

$$\partial_i^2 f = \left ( \frac{1}{\|x\|} - \frac{x_i^2}{\|x\|^3} \right ) \cdot \varphi ' (\|x\|) + \frac{x_i^2}{\|x\|^2} \cdot \varphi '' (\|x\|)$$

Eso es lo que consigo aplicando la regla de la cadena y el producto. Así que:

$$\Delta f = \sum_{i=1}^n \partial_i^2 f$$

pero esto sigue siendo una suma muy fea. He intentado simplificarla al máximo y si no me he equivocado, he acabado con:

$$\Delta f = \frac{1}{\|x\|^2} \cdot \left ( \varphi ' \cdot \left ( \sum \left ( \frac{\|x\|}{x_i^2} \right ) - \frac{1}{\|x\|} \right ) + \varphi '' \right )$$

Y creo que puedo reescribir la suma con algo como

$$n \cdot \|x\| \cdot (x_1^2 x_2^2 ... x_n^2)^{n-2}$$

Pero esto no parece mejor. Sé que tengo que llegar a algo similar a:

$$\Delta f = \varphi '' (\|x\|) + \frac{n-1}{\|x\|} \cdot \varphi ' (\|x\|)$$

¿Alguien tiene una idea de cómo podría simplificar aún más mi término o dónde me he equivocado, o si hay una manera más fácil de simplificar la primera suma de manera que llegue al resultado deseado? Si es así, me encantaría ver cómo hacerlo. Gracias de antemano.

Answer 1

Después de la segunda y la tercera ecuación ya casi está. Sólo tienes que utilizar $\sum_{i=1}^n 1 = n$ y $x_1^2 + \cdots + x_n^2 = \|x\|^2$ .

Answer 2

Dejemos que $r$ denotan la norma de $x$ . Como se ha calculado, $\nabla f=\phi' x/r$ . Por tanto, por el teorema de Gauss tenemos $\int_{B^n(r)}\Delta f \,dV=\int_{S^{n-1}(r)}\phi'\,dS$ . Si diferenciamos wrt. $r$ obtenemos $A r^{n-1} \Delta f=d(\phi' A r^{n-1})/dr$ donde $A$ es el volumen de la unidad $n-1$ -dim esfera. De aquí obtenemos finalmente $\Delta f=\phi''+(n-1)\phi'/r$ .

Answer 3

Ya ha demostrado

$$\partial_i f = \frac{x_i}{|x|} \cdot \varphi ' (|x|),$$ y $$\partial_i^2 f = \left( \frac{1}{|x|} - \frac{x_i^2}{|x|^3} \right ) \cdot \varphi ' (|x|) + \frac{x_i^2}{|x|^2} \cdot \varphi '' (|x|).$$

Tomando una suma, tenemos

$$\Delta f = \left(\frac{n}{|x|} - \frac{|x|^2}{|x|^3} \right) \cdot \varphi ' (|x|) + \frac{|x|^2}{|x|^2} \cdot \varphi '' (|x|).$$

Simplificar y reescribir,

$$\Delta f = \varphi''(|x|) + \frac{n-1}{|x|}\varphi'(|x|),$$

como se desee. (Esto es esencialmente una aclaración de la respuesta de user3148).