invertir el orden de integración

Question

¿Cómo se invierte el orden de esta integral en $dy\,dx$ ? Me parece que se necesitan dos por separado pero no sé cómo hacerlo:

$$\int_0^3\int_\sqrt{y}^3 f(x,y) \, dx \, dy$$

gracias

Answer 1

Si dibujas la región, verás que tiene el aspecto de un trapecio, y se puede dividir en dos regiones $A$ y $B$ .

Sobre la región $A$ : $\displaystyle \int_{0}^\sqrt{3} \int_{0}^{x^2} f(x,y)\,dy\, dx$ ,

Sobre la región $B$ : $\displaystyle \int_{\sqrt{3}}^3 \int_{0}^3 f(x,y)\,dy\,dx$ ,

y la respuesta es la suma de las dos integrales anteriores.

Answer 2

Esta no es una solución completa, pero esperamos que sea suficiente para empezar. Lee la expresión de fuera hacia dentro: Tienes $y$ que van de 0 a 3, y para cada $y$ valor en ese intervalo, $x$ oscila entre $\sqrt{y}$ a 3. Así que intenta graficar la curva $x=\sqrt{y}$ y tratar de hacer sombra en la región que esto describe.

Una vez que tengas la región esbozada, intenta describirla de nuevo, pero en el otro orden: primero en términos de $x$ (cuál es el valor más bajo de $x$ en la región? ¿Cuál es el valor más alto de $x$ en la región), y luego, para cada $x$ Describa cómo $y$ varía (teniendo en cuenta que los límites superior o inferior para $y$ puede expresarse en términos de $x$ ).

Espero que eso ayude.