Dado que tengo el gráfico de una función $f(x)$ ¿existe una función $f_1(f(x))$ que me dé una versión rotada del gráfico de esa función?
Por ejemplo, si grafico $\sin(x)$ obtendré una onda senoidal que cruza el eje $x$, ¿puedo aplicar una función a $\sin(x)$ para obtener una onda que cruce la línea que resultaría de $y = 2x$?
Una vez que rotas, no es necesario que permanezca una función (es decir, un valor $x$ puede tener varios valores $y$ correspondientes).
Pero puedes usar la siguiente transformación
$$x' = x\cos \theta - y \sin \theta$$ $$y' = x \sin \theta + y \cos \theta$$
para rotar un ángulo de $\theta$. El punto $(x,y)$ se rota al punto $(x',y')$. Nota: esto es una rotación alrededor del origen.
En tu caso de $y = 2x$, necesitas rotar por $\arctan(2)$.
Ver más información aquí: Matriz de Rotación.
En el caso específico de sin(x), si giras por algo en el rango (-pi/4, pi/4), aún tienes una función porque la pendiente de sin(x) siempre es menor que 1 en valor absoluto.
Creo que esto es lo que quiero. Quiero animar algo para que ondule como si estuviera siguiendo una onda sinusoidal pero no siempre en paralelo al eje x.
@Omar: Parece que la parametrización a la que se refiere Rasmus te va a servir perfectamente. Te da x e y como función de t y evita el problema del "doble x".
Sí, puedes, pero es posible que no sea una función. Digamos que y = f(x) es la curva que deseas rotar. Entonces, la ecuación de la curva de f(x) rotada por n radianes es: ycos(n) - xsin(n) = f(ysin(n) + xcos(n)) Pruébalo aquí: https://www.desmos.com/calculator
Para funciones comunes, es muy fácil. $f(x)$ rotado $\phi$ puede calcularse como $(x+f(x)\cdot i)(\cos(\phi)+\sin(\phi)\cdot i)$ en coordenadas en lugar de números complejos. Sin embargo, reemplacemos $x$ con $t$, solo para reducir la confusión.
$(t+f(t)\cdot i)(\cos(\phi)+\sin(\phi)\cdot i) = t\cos(\phi)-f(t)\sin(\phi)+t\sin(\phi)\cdot i+f(t)\cdot \cos(\phi)\cdot i$
En forma paramétrica, eso es:
$X=t\cos(\phi)-f(t)\sin(\phi)$
$Y=t\sin(\phi)+f(t)\cos(\phi)$
Para convertir eso en una función, encontramos $t$ como una función de $x$ e insertamos eso en $Y$ como una función de $t.
Esto es posible con algunas ecuaciones, como $f(t)=t^2$ o $f(t)=\dfrac 1t$. Sin embargo, con la función seno, no es tan fácil. De hecho, no hay una función definitiva para la rotación de una función seno. Sin embargo, se puede representar como un polinomio infinito.
Los parámetros de este gráfico serían
$X=\dfrac{t-2\sin(t)}{\sqrt5}$
$Y=\dfrac{2t+\sin(t)}{\sqrt5}$
Para aproximar una fórmula de polinomio $y$-como-una-función-de-$x$, encontramos los coeficientes para cada parte de esta fórmula.
El coeficiente de $x^0$ es la intersección-y dividida por $0!$ ($y$ cuando $x$ es cero)/$0!$
El coeficiente de $x^1$ es la intersección-y de la derivada dividida por $1!$ $((y$ cuando $x$ es $0.00001)-(y$ cuando $x$ es $0))/0.00001/1!$
El coeficiente de $x^2$ es la intersección-y de la segunda derivada dividida por $2!$ $((y$ cuando $x$ es $0.00002)-2*(y$ cuando $x$ es $0.00001)+(y$ cuando $x$ es $0))/0.00001/0.00001/2!$
El coeficiente de $x^3$ es la intersección-y de la tercera derivada dividida por $3!$
$((y$ cuando $x$ es $0.00003)-3*(y$ cuando $x$ es $0.00002)+3*(y$ cuando $x$ es $0.00001)-(y$ cuando $x$ es $0))/0.00001/0.0001/0.0001/3!$
En caso de que no lo hayas notado, estoy usando el triángulo de Pascal en este cálculo.
¡Espero que esto ayude!
En general, la respuesta es no ya que la versión rotada del gráfico podría no ser el gráfico de una función. Por ejemplo, podría suceder que su versión rotada del gráfico contenga dos puntos diferentes con el mismo valor de $x$ -- esto no puede suceder para el gráfico de una función.
Una salida podría ser parametrizar su gráfico. Así que en lugar de un mapa $x\mapsto y(x)$, se mira el mapa $t\mapsto (t,y(t))$. Después de rotar la trayectoria de esta cosa (¡no el gráfico!), seguirá siendo la trayectoria de un mapa $$t\mapsto (x(t),y(t)).$$
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El "gráfico de una función" aquí es en realidad el gráfico de puntos que satisfacen una ecuación que relaciona $x$ y $y, por ejemplo $y = \sin x.$ Una respuesta perfectamente correcta que fue publicada abajo (y aceptada) nos dice cómo rotar el gráfico de cualquier ecuación que relacione $x$ y $y, incluso si la ecuación no puede ser escrita en la forma $y = f(x).$ Por ejemplo, puedes rotar el gráfico de $y^2 = 4 - 2x^2,$ que es una elipse, usando este mismo método.
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math.stackexchange.com/questions/154743/…
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Para rotar cualquier curva por cualquier ángulo, necesitas usar ecuaciones paramétricas. $x=t \cos \theta - f(t) \sin \theta$, $y=t \sin \theta + f(t) \cos \theta$. Obtienes puntos a lo largo del rango $[s,e]$ al introducir valores para $t$ comenzando en $s$ y terminando en $e$. El espacio entre los puntos está determinado por la diferencia entre los valores de $t$ que introduces, y cada uno te da un par de coordenadas $(x,y)$.