¿Prueba rápida del hecho de que el anillo de enteros de $\mathbb Q(\zeta_n)$ es $\mathbb Z[\zeta_n]$?

Question

No puedo encontrar una buena referencia para la prueba de que el anillo de enteros en un campo ciclotómico $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ es $\mathbb{Z}[\zeta_n]$. La prueba que suelo encontrar hace una inducción sobre el número de factores primos de $n$, junto con una prueba larga y algo computacional en el caso de que $n$ sea la potencia de un primo.

¿Conoces un enfoque más rápido y posiblemente más conceptual?

Answer 1

No sé si esto es lo que estás buscando, pero me gusta la prueba en la Sección I.10 de Teoría Algebraica de Números de Neukirch. Conceptualmente la idea (para $n$ una potencia primo) es que si el discriminante es una potencia primo y hay un elemento $\lambda$ cuya norma es ese primo, entonces $\mathbf{Z}[\lambda]$ debería ser el anillo de enteros. Aquí, $\lambda = 1- \zeta$ así que $\mathbf{Z}[\lambda] = \mathbf{Z}[\zeta]$.

Luego, para el $n$ general, usa el hecho de que $\mathbf{Q}(\zetan)$es el compositum de$\mathbf{Q}(\zeta{\ell^r})$, y$\zeta_{\ell^r}$es un poder de$\zeta_n$.