Mi pregunta se refiere a la proposición 3.2 de la Geometría Algebraica de Hartshornes, según la cual un esquema es localmente noetheriano si y sólo si para cada subconjunto abierto afín $\operatorname{spec}(A)$ el anillo $A$ es noetheriano.
Una parte de la prueba no me queda clara: Tomamos un subconjunto abierto $U = \operatorname{spec}(B)$ de un esquema afín $X = \operatorname{spec}(A)$ , donde $B$ es un anillo noetheriano. Entonces existe algún $f \in A$ con $D(f) \subset U$ que está claro. Pero ¿cómo podemos tomar la imagen de $f$ en $B$ ?
La terminología me lleva a pensar que tenemos un morfismo de $A$ a $B$ pero no sé de dónde debería salir esto. Si $U \hookrightarrow X$ fuera un morfismo de esquemas, esto estaría claro (por el hecho de que las categorías de anillos y esquemas afines son equivalentes), pero tenía la impresión de que simplemente tenemos una inclusión de conjuntos abiertos, y no adicionalmente un morfismo de gavillas de anillos, como en la definición de un morfismo de espacios localmente anillados. Gracias de antemano.
