Poisson es a la exponencial como Gamma-Poisson es a qué?

Question

Una distribución de Poisson puede medir eventos por unidad de tiempo, y el parámetro es $\lambda$ . La distribución exponencial mide el tiempo hasta el siguiente evento, con el parámetro $\frac{1}{\lambda}$ . Se puede convertir una distribución en la otra, dependiendo de si es más fácil modelar eventos o tiempos.

Ahora bien, una gamma-poisson es una poisson "estirada" con una varianza mayor. Una distribución Weibull es una exponencial "estirada" con una varianza mayor. Pero, ¿pueden estas dos distribuciones convertirse fácilmente la una en la otra, de la misma manera que Poisson puede convertirse en exponencial?

¿O hay alguna otra distribución que sea más apropiada para utilizar en combinación con la distribución gamma-poisson?

La gamma-poisson también se conoce como distribución binomial negativa, o NBD.

Answer 1

Este es un problema bastante sencillo. Aunque existe una conexión entre las distribuciones de Poisson y Binomial Negativa, en realidad creo que esto no es útil para tu pregunta específica, ya que anima a la gente a pensar en procesos binomiales negativos. Básicamente, tienes una serie de procesos de Poisson:

$$Y_i(t_i)|\lambda_i\sim Poisson(\lambda_i t_i)$$

Dónde $Y_i$ es el proceso y $t_i$ es el tiempo que se observa, y $i$ denota los individuos. Y usted está diciendo que estos procesos son "similares" atando las tasas por una distribución:

$$\lambda_i\sim Gamma(\alpha,\beta)$$

Al hacer la integración/mezcla sobre $\lambda_i$ lo has hecho:

$$Y_i(t_i)|\alpha\beta\sim NegBin(\alpha,p_i)\;\;\; where \;\;p_i=\frac{t_i}{t_i+\beta}$$

Esto tiene un pmf de:

$$Pr(Y_i(t_i)=y_i|\alpha\beta) = \frac{\Gamma(\alpha+y_i)}{\Gamma(\alpha)y_i!}p_i^{y_i}(1-p_i)^\alpha$$

Para obtener la distribución del tiempo de espera observamos que:

$$Pr(T_i\leq t_i|\alpha\beta)=1-Pr(T_i> t_i|\alpha\beta)=1-Pr(Y_i(t_i)=0|\alpha\beta)$$ $$=1-(1-p_i)^\alpha=1-\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-\alpha}$$

Diferencie esto y tendrá el PDF:

$$p_{T_i}(t_i|\alpha\beta)=\frac{\alpha}{\beta}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-(\alpha+1)}$$

Es un miembro de las distribuciones de Pareto generalizadas, tipo II. Yo la utilizaría como distribución del tiempo de espera.

Para ver la conexión con la distribución de Poisson, observe que $\frac{\alpha}{\beta}=E(\lambda_i|\alpha\beta)$ de modo que si fijamos $\beta=\frac{\alpha}{\lambda}$ y luego tomar el límite $\alpha\to\infty$ nos encontramos con que:

$$\lim_{\alpha\to\infty}\frac{\alpha}{\beta}\left(1+\frac{t_i}{\beta}\right)^{-(\alpha+1)}=\lim_{\alpha\to\infty}\lambda\left(1+\frac{\lambda t_i}{\alpha}\right)^{-(\alpha+1)}=\lambda\exp(-\lambda t_i)$$

Esto significa que puede interpretar $\frac{1}{\alpha}$ como parámetro de sobredispersión.

Answer 2

Una posibilidad: Poisson es al Exponencial como el Binomio Negativo es al ... ¡Exponencial!

Existe un proceso de Lévy puramente creciente llamado Proceso binomial negativo de manera que en el momento $t$ el valor tiene una distribución binomial negativa. A diferencia del proceso de Poisson, los saltos no son casi seguros $1$ . En cambio, siguen una distribución logarítmica . Por el ley de la varianza total En este caso, parte de la varianza proviene del número de saltos (escalado por el tamaño medio de los saltos), y parte de la varianza proviene de los tamaños de los saltos, y se puede utilizar para comprobar que está sobredispersa.

Puede haber otras descripciones útiles. Véase "Encuadre de la distribución binomial negativa para la secuenciación del ADN".

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Permítanme ser más explícito sobre cómo se puede construir el Proceso Binomial Negativo descrito anteriormente.

• Elija $p \lt 1$ .

• Dejemos que $X_1, X_2, X_3, ...$ sean IID con distribuciones logarítmicas, por lo que $P(x_i = k) = \frac{-1}{\log(1-p)} \frac{p^k}{k}.$

• Dejemos que $N$ sea un proceso de Poisson con tasa constante $-\log(1-p)$ Así que $N(t) = \text{Pois}(-t \log(1-p)).$

• Dejemos que $NBP$ sea el proceso para que

$$NBP(t) = \sum_{i=1}^{N(t)} X_i.$$

$NBP$ es un proceso de salto puro con saltos distribuidos logarítmicamente. Los intervalos entre saltos siguen una distribución exponencial con una tasa $-\log(1-p).$

No creo que sea obvio a partir de esta descripción que $NBP(t)$ tiene un binomio negativo $NB(t,p)$ distribución, pero hay una breve prueba utilizando funciones generadoras de probabilidad en Wikipedia y Fisher también demostró esto cuando introdujo la distribución logarítmica para analizar las frecuencias relativas de las especies.

Answer 3

No puedo comentar todavía, así que me disculpo si esto no es una solución definitiva.

Estás preguntando por la distribución apropiada para usar con un NB pero lo apropiado no está del todo definido. Si una distribución apropiada significa apropiada para explicar los datos y usted está empezando con una Poisson sobredispersa, entonces puede que tenga que investigar más a fondo la causa de la sobredispersión. El NB no distingue entre una Poisson con medias heterogéneas o una dependencia de ocurrencia positiva (que un evento que ocurra aumente la probabilidad de que ocurra otro). En el tiempo continuo también existe la dependencia de la duración, por ejemplo, la dependencia positiva de la duración significa que el paso del tiempo aumenta la probabilidad de que ocurra un suceso. También se ha demostrado que la dependencia de duración negativa provoca asintóticamente un Poisson sobredisperso [1] . Esto se suma a la lista de lo que podría ser el modelo de tiempo de espera adecuado.