Encuentra la función que minimiza $\int_{0}^{1}e^{-(y'-x)}+(1+y)y'dx$

Question

Supongamos que entre todas las funciones continuamente diferenciables $y(x), x\in \mathbb{R}$ con $y(0)=0$ y $y(1)=\frac{1}{2},$ la función $y_0(x)$ minimiza el funcional,

$$\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-(y'-x)}+(1+y)y'dx$$ Encuentre el valor de $y(\frac{1}{2}).$

Mi intento: Utilizando la ecuación de Euler $F_y-\frac{d}{dx}F_{y'}=0$ aquí $F(x,y,y')=e^{-(y'-x)}+(1+y)y'$ obtenemos

$$\implies y'-\frac{d}{dx}(-e^{x-y'}+1+y)=0$$ $$\implies y''-y'e^{y'-x}-1=0$$ (tras la simplificación)

Pero ahora estoy atascado ya que no sé cómo proceder a partir de aquí? Por favor, ayúdenme. Gracias.

Answer 1

Creo que has cometido un error al pasar de la primera línea de tu ecuación a la segunda:

$$ y' - \frac{d}{dx}(-e^{x-y'} + 1 + y) = 0 \\ \Rightarrow (1 - y'')e^{x-y'} = 0 $$

Lo cual sólo es cierto si $y'' \equiv 1$ . Lo que da $y = \frac 12 x^2$ con las condiciones de contorno, y así $y\left(\frac 12\right) = \frac 18$ . No he comprobado si esto es realmente un mínimo, tendrás que calcular la segunda variación para conseguirlo.