Preguntas sobre la función Gamma

Question

Tl;dr ¿Cuál es la importancia de la función Gamma?

He leído todo lo que puedo sobre la función Gamma, incluido un libro completo ("Gamma") sobre ella. He buscado en internet sobre el tema. He visto videos en hindi, que no hablo, y sin bromas, cada video en Youtube cuando buscas "función beta gamma" aparece con un video destinado a ingenieros indios. Gracias a este sitio, encontré algunos enlaces a artículos académicos que discuten la historia de la función gamma, también. Todo genial.

Pero aún así, no lo entiendo.

Entiendo las diversas expresiones de ella, e incluso cómo resolver un problema que implica la función Gamma. Lo que no entiendo es la importancia de esto.

Por ejemplo, he aprendido que la función gamma se desarrolló para tratar con el problema de interpolación que los Euler, Bernoullis, Wallis, Stirling y pandilla estaban interesados ​​en resolver. Me encanta la historia de las matemáticas. ¿Es correcto decir que el principal uso de la función gamma es calcular factoriales no enteros, que podrían tener uso en probabilidad? (Parece, y no estoy bien instruido en esto, que la función gamma es útil para estadísticos y programadores).

¿Y por qué las variaciones de Gauss/Euler/Weierstrass? Así que puedo expresar la función gamma de varias formas. Gauss usa el operador de producto; Euler usa la integral; etc. ¿Cuál es el uso de todas estas formas diferentes?

Y Weierstrass, rara vez se menciona (en mi lectura) pero encontré una fuente que hablaba sobre su derivación que proviene del uso de números complejos en la fórmula de Euler. ¿Es eso lo que hace que la versión de Weierstrass sea tan significativa?

Al final, ¿es gamma simplemente una forma fácil de calcular una integral? Es decir, la mayoría de los problemas que he resuelto implican reescribir integrales para cumplir con la forma canónica de gamma. Una vez hecho, el valor de la integral es simplemente gamma(n). Fácil. ¿De eso se trata todo esto? ¿Necesito un truco para evaluar integrales desagradables?

Y podría reescribir todo esto sobre la función beta. Hmmmm....... Agradecería que la sabiduría colectiva me mostrara qué es lo que no entiendo sobre esto.

Answer 1

Así que este gran post se reduce a:

¿Cuál es el uso de la función Gamma y sus diferentes representaciones?

Uf... ni siquiera sé por dónde empezar.

En primer lugar - podemos extender la definición del factorial, cuya definición se basa puramente en enteros positivos, al mundo real y al complejo. ¿Qué tan genial es eso??

Desde un punto de vista matemático-teórico, se argumentaría resolver muchos problemas y llevarlos, si ves la función Gamma como una forma cerrada, a una forma cerrada. Lo bueno de la función Gamma también es, como mencionaste, sus diferentes representaciones, que son útiles al evaluar diferentes tipos de problemas. Si me permites agregar una declaración personal con respecto a tus comentarios sobre Weierstrass, actualmente estoy trabajando en una demostración que depende de la representación Weiertrass de la función Gamma.

En cuanto a las aplicaciones en física, también hay muchas, incluso en la teoría de cuerdas. La física no es exactamente mi área pero este documento proporciona algunas ideas.

Answer 2

Aquí tienes un ejemplo --- cómo $\Gamma$ hizo mi vida un poco más agradable. Cuando aprendí por primera vez a integrar, decidí que sería divertido encontrar fórmulas para los volúmenes de esferas $n$-dimensionales, generalizando el $\pi r^2$ y $\frac43\pi r^3$ que había aprendido anteriormente (para $n=2$ y $n=3$). Después de algunos cálculos (y, si recuerdo correctamente, algún uso de las tablas de integrales al final de mi libro de cálculo), tenía las fórmulas para $n$ hasta aproximadamente $7$. Para $n$ par, había un patrón fácilmente detectable en los resultados, una esfera $n$-dimensional de radio $r$ tiene volumen $\pi^{n/2}r^n/((n/2)!)$. Pero para $n$ impar, mis fórmulas no eran tan bonitas. Tenían fracciones curiosas en ellas (como ese $\frac43$ cuando $n=3$, pero peor para $n$ más grande), e incluso el exponente de $\pi$ no era totalmente cooperativo --- era $(n-1)/2$ en lugar de $n/2$. ($r$ sí tenía el exponente esperado $n$, pero eso es inevitable en un volumen $n$-dimensional.)

Fueron muchos años más tarde que aprendí que la fórmula bonita para $n$ par realmente funciona perfectamente para $n$ impar también, siempre que se utilice la función Gamma para entender el $(n/2)!$ en el denominador. Ese factorial, entendido como $\Gamma(\frac n2+1)$, proporciona todas las fracciones curiosas y la $\sqrt\pi$ que me habían molestado años antes.